1、第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 学 习 目 标核 心 素 养 1了解合情推理的含义(易混点)2理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理(重点、难点)1通过归纳推理与类比推理的学习，培养学生逻辑推理的核心素养2借助合情推理的应用，养成学生逻辑推理的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1归纳推理与类比推理归纳推理类比推理 定义由某类事物的_具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由_概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称_)由两类对象具有_和其中一类对象的_，推出另一类对象也具有_的推理称为类比推理(简称_)部分对
2、象全部对象个别事实归纳某些类似特征某些已知特征这些特征类比归纳推理类比推理 特征归纳推理是由_到_、由_到_的推理类比推理是由_到_的推理 部分整体个别一般特殊特殊思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠2合情推理 归纳推理类比推理合情推理从具体问题出发经过_、_、_、_再进行_、_提出猜想观察分析比较联想归纳类比1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能
3、“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了()A归纳推理B类比推理C没有推理D以上说法都不对B 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理2等差数列an中有 2anan1an1(n2，且 nN*)，类比以上结论，在等比数列bn中类似的结论是_b2nbn1bn1(n2，且 nN*)类比等差数列，可以类比出结论b2nbn1bn1(n2，且 nN*)3如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有 n(n1，nN*)个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6_，an_(
4、n1，nN*)15 3n3 依据图形特点，可知第 5 个图形中三角形各边上各有 6 个点，因此 a636315.由 n2,3,4,5,6 的图形特点归纳得an3n3(n1，nN*)合 作 探 究 释 疑 难 数、式中的归纳推理【例 1】(1)观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第 n 个等式可为_(2)已知：f(x)x1x，设 f 1(x)f(x)，f n(x)f n1(f n1(x)(n1，且 nN*)，则 f 3(x)的表达式为_，猜想 f n(x)(nN*)的表达式为_(3)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a13，满足 Sn62an1(n
5、N*)求 a2，a3，a4 的值；猜想 an 的表达式(1)12223242(1)n1n2(1)n1nn12(2)f 3(x)x14x f n(x)x12n1x(1)121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(12n)(1)n1nn12.(2)f(x)x1x，f 1(x)x1x.又f n(x)f n1(f n1(x)，f 2(x)f 1(f 1(x)x1x1 x1xx12x，f 3(x)f 2(f 2(x)x12x12x12xx14x，f 4(x)f 3(f 3(x)x14x14x14xx18x，f 5(x)f 4(f
6、4(x)x18x18x18xx116x，根据前几项可以猜想 f n(x)x12n1x.(3)解 因为 a13，且 Sn62an1(nN*)，所以 S162a2a13，解得 a232，又 S262a3a1a2332，解得 a334，又 S362a4a1a2a333234，解得 a438.由知 a13 320，a232 321，a334 322，a438 323，猜想 an 32n1(nN*)进行数、式中的归纳推理的一般规律1已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出
7、等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论 2数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和；(2)根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式跟进训练1数列 5,9,17,33，x，中的 x 等于_65 因为 415,819,16117,32133，猜测 x64165.2观察下列等式：sin 32sin 2324312；sin 52sin 252sin 352sin 4524323；sin 72sin 272sin 372sin
8、6724334；sin 92sin 292sin 392sin 8924345；照此规律，sin2n12sin22n12sin32n12sin 2n2n12_.43n(n1)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43n(n1)，即43n(n1)几何图形中的归纳推理【例 2】(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是_(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第 8 个图形中线段的条数为_ (1)5n
9、1(2)509(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为 5 的等差数列，从而第 n个图案中黑色地面砖的个数为 6(n1)55n1.(2)图形到中线段的条数分别为 1,5,13,29，因为 1223,5233,13243,29253，因此可猜想第 8 个图形中线段的条数应为 293509.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：跟进训练3如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第 n 个图形中由 n个正方形组成：通过观察可以发现：第
10、五个图形中，火柴棒有_根；第 n个图形中，火柴棒有_根16 3n 1 数 一 数 可 知 各 图 形 中 火 柴 的 根 数 依 次 为：4,7,10,13，可见后一个图形比前一个图形多 3 根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒 16 根，第 n 个图形中有火柴棒(3n1)根类比推理及其应用 探究问题三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图
11、形 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：1在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示 四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积2三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示 四面体的体积等于底面积与高的积的13.【例 3】(1)在等差数列an中，对任意的正整数 n，有a1a2a3a2n12n1an.类比这一性质，在正项等比数列bn中，有_(2)在平面几何里有射影定理：设ABC 的两边 ABAC，D 是 A点在 BC 边上的射影，则 AB2BDBC.拓展到空间，在四面体 A-BC
12、D中，DA平面 ABC，点 O 是 A 在平面 BCD 内的射影，且 O 在BCD内类比平面三角形射影定理，写出对ABC、BOC、BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱 AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面 ABC 的面积，将此直角边 AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC 在底面的射影OBC 及底面BCD的面积可得 S2ABCSOBCSDBC.(1)2n1 b1b2b3b2n1bn 由 a1a2a2n 1 类比成b1b2b3b2n1，除以 2n1，即商类比成开 2n1 次方，即在正项等比
13、数列bn中，有2n1 b1b2b3b2n1bn.(2)解 ABC、BOC、BDC 三者面积之间关系为 S2ABCSOBCSDBC.证明如下：如图，设直线 OD 与 BC 相交于点 E，AD平面 ABE，ADAE，ADBC.又AO平面 BCD，AODE，AOBC.ADAOA，BC平面 AED，BCAE，BCDE.SABC12BCAE，SBOC12BCOE,SBCD12BCDE.在 RtADE 中，由射影定理知 AE2OEDE，S2ABCSBOCSBCD.1(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“abcos Cccos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边”类比上述定理，写出对
14、空间四面体(如图所示)性质的猜想解 在四面体 P-ABC 中，S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA，ABC 的面积，依次表示平面 PAB，平面 PBC，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 SS1cos S2cos S3cos.2(变条件)把本例(2)条件换为“在 RtABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，有 1AD2 1AB2 1AC2成立”那么在四面体 A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由解 猜想：类比 ABAC，ADBC，可以猜想四面体 A-BCD中，AB，AC，AD 两
15、两垂直，AE平面 BCD.则 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2.下面证明上述猜想成立 如图所示，连接 BE，并延长交 CD 于点 F，连接 AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面 ACD.而 AF平面 ACD，ABAF.在 RtABF 中，AEBF，1AE2 1AB2 1AF2.在 RtACD 中，AFCD，1AF2 1AC2 1AD2.1AE2 1AB2 1AC2 1AD2，故猜想正确1类比推理的一般步骤 2平面图形与空间图形类比 平面图形空间图形 点线 线面 边长面积 面积体积 线线角二面角 三角形四面体课 堂 小 结 提 素 养 1合情推理主要包括归纳推理和类比推理，数学研
16、究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为从具体问题出发观察、分析、比较、联想 归纳、类比提出猜想1已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式 S底高2，可知扇形面积公式为()Ar22 Bl22 Clr2 D无法确定C 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式 Slr2.2观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A B C DA 观察可发现规律：每行、每列中，长方形、圆、三角形三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果.3等差数列a
17、n中，an0，公差 d0，则有 a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若 bn0，q1，则 b5，b7，b4，b8 的一个不等关系为_b4b8b5b7 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有 b4b8b5b7.4观察下列等式：1323(12)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律，第四个等式为_1323334353(12345)2 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数的立方和，且个数依次加 1，等号的右边是从 1 开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加 1，因此，第四个等式为 1323334353(12345)2.5在 RtABC 中，若C90，则 cos2Acos2B1，在空间中，给出四面体性质的猜想解 如图，在 RtABC 中，cos2Acos2 Bbc2ac2a2b2c21.于是把结论类比到四面体 P-ABC中，我们猜想，三棱锥 P-ABC中，若三个侧面 PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则 cos2cos2cos21.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!