1、7.3球1球的截面(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆(2)球的截面性质球的截面是圆面球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r有如下关系：r.2球的切线(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点(2)过球外一点的所有切线的长度都相等3球的表面积和体积(1)球的表面积公式S球面4R2(R为球的半径)(2)球的体积公式V球R3.判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个球的半径之比为13，则其表面积之比为19.()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()(3)用任
2、意平面截球，所得截面都是圆()答案(1)(2)(3)题型一 球的表面积和体积【典例1】(1)球的体积是，则此球的表面积是 ()A12 B16 C. D.(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_思路导引(1)求球的半径是求球表面积与体积的关键(2)利用体积相等，求大球半径解析(1)R3，故R2，球的表面积为4R216.(2)两个小铁球的体积为213，即大铁球的体积为R3，所以半径为.答案(1)B (2)解决球的表面积和体积时注意两点(1)一个关键抓住球的表面积公式S球4R2，球的体积公式V球R3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件把握住公式，球的体积与表面积
3、计算的相关题目也就迎刃而解了(2)两个结论两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方针对训练1(1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A2倍 B2倍 C.倍 D.倍(2)一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是()A. B.C. D.解析(1)球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的倍，体积扩大到原来的2倍(2)设正方体的边长为a，球的半径为R，则6a24R2.则，则3.答案(1)B(2)A题型二 球的截面【典例2】在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49 cm2和400 cm2，求此球的表面积思
4、路导引用平面去截球体，所得截面是圆面，截面圆心与球心的连线与截面垂直，这就构造了直角三角形解(1)若两截面位于球心的同侧解法一：如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm.由r49，得r17(r17舍去)，由r2400，得r20(r20舍去)在RtOB1C1中，OC1，在RtOBC中，OC.由题意可知OC1OC9，即9，解此方程，取正值得R25.解法二：同解法一，得OCR249，OC2R2400，两式相减，得OCOC240049(OC1OC)(OC1OC)351.又OC1OC9，OC1OC39，解得OC1
5、24，OC15，R2OC2r2152202625，R25 cm.(以下略) (2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1，OC.由题意可知OC1OC9，即9.整理，得15，此方程无解，这说明第二种情况不存在综上所述，此球的半径为25 cm.S球4R242522500(cm2)设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面针对训练2把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6和8”，则两平行截面间的距离是()A1 B2C1或7 D2或6解析画出球的截面图，如图所示两
6、平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：两个平行截面在球心的两侧，两个平行截面在球心的同侧对于，m4，n3，两平行截面间的距离是mn7；对于，两平行截面间的距离是mn1.故选C.答案C题型三 与球有关的切和接问题【典例3】(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2C12a2 D24a2(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比思路导引(1)长方体的体对角线即是外接球的直径(2)充分利用轴截面去寻找有关量之间的关系是解决问题的关键解析(1)长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为a
7、，得球的半径为a，则球的表面积为426a2.(2)如图等边ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OER，OA2OE2R，ADOAOD2RR3R，BDADtan 30R，V球R3，V圆锥BD2AD(R)23R3R3，则V球V圆锥49.答案(1)B(2)49(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2a，如图.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直
8、径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3，如图.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2Ra.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2Ra.针对训练3(1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A1 B13 C13 D19(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、，则它的外接球表面积为_解析(1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，外接球的半径为，其体积比为3313.(2)设长方体共顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得外接球半径为，外接球表面积为429.
9、答案(1)C(2)91如果两个球的半径之比为13，那么这两个球的表面积之比为()A19 B127 C13 D11解析设两球的半径分别为r,3r，则表面积之比为.答案A2若把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()AR B2R C3R D4R解析设圆柱的高为h，则R2h3R3，所以h4R.答案D3如果三个球的半径之比是123，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的()A1倍 B2倍 C3倍 D4倍解析设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的体积V大(3x)336x3，另两球的体积之和V和x3(2x)312x3，所以V大3V和答案C4若用与球心距离为1的平面去截球，所得
10、截面圆的面积为，则球的表面积为()A8 B. C. D.解析作轴截面如图所示，则OO11.设截面圆的半径为r，球的半径为R.由已知可得r2，所以r1，R.故S球4R28.答案A课后作业(十六)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，这两个球的半径之差为()A4 B3 C2 D1解析令S球14R2，S球24r2，由题可知4R24r248，又2R2r12，得Rr2.答案C2长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上，已知AB3，AD4，BB15，那么球O的表面积为()A25 B200 C100 D50解析由长方体的体对角线为
11、外接球的直径，设球半径为r，则2r5，则r，S表4r24250.答案D3已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是()A4 B3 C2 D5解析BD，AC2，CDODOC1.解得R3.答案B4圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图)，则球的半径是()A. cm B2 cmC3 cm D4 cm解析设球的半径为r，则V水8r2，V球4r3，加入小球后，液面高度为6r，所以r26r8r24r3，解得r4.故选D.答案D5已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一
12、个球的球面上，则该圆柱的体积是()A B. C. D6解析如图所示，圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径为r，所以该圆柱的体积为VSh()226.故选D.答案D6已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_解析设正方体的棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR33.答案7已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为_解析设球O的半径为r，则r323，解得r.答案8底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥PABCD的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底
13、面边长为4，侧棱长为2，则这个球的表面积为_解析正四棱锥PABCD外接球的球心在它的高PO1上，记为O，OPOAR，PO14，OO14R，或OO1R4(此时O在PO1的延长线上)在RtAO1O中，R28(R4)2得R3，所以球的表面积S36.答案369某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解该组合体的表面积S4r22rl41221310.该组合体的体积Vr3r2l13123.10已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径解(1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面
14、的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图所示，易得r内.(2)正方体的外接球与正方体的连接点为正方体各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的一个大圆为对角面矩形的外接圆，如图所示，设球半径为R，则(2R)2(a)2a2Ra.(3)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图所示，易求得球的半径为a.应试能力等级练(时间25分钟)11若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比是()A65 B54 C43 D32解析设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
15、母线长为2R，则圆柱的表面积为2R22R2R6R2，球的表面积为4R2.所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6R24R232.答案D12球面上有三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB18，BC24，AC30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为()A1200 B1400 C1600 D1800解析AB2BC2182242302AC2，ABC为直角三角形，且其外接圆的半径为15，即截面圆的半径r15.又球心到截面的距离为dR(R为球的半径)，R22152，R10.球的表面积S4R24(10)21200.答案A13若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边
16、长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为_解析满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥VABC，所以VAABBC1，VBAC，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R，所以该四面体外接球的表面积为423.答案314已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ACBC，PA2，ACBC1，则三棱锥PABC外接球的体积为_解析如图所示取PB的中点O，PA平面ABCPAAB，PABC，又BCAC，PAACA，BC平面PACBCPC.OAPB，OCPB，OAOBOCOP，故O为外接球的球心又PA2，ACBC1，AB，PB外接球的半径R.V球R33.答案15在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥ABCD，求此正三棱锥的体积解如图甲所示的情形，显然OAOBOCOD15.设H为BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上HBHCHD1212，OH9，正三棱锥ABCD的高h91524.又SBCD(12)2108，V三棱锥ABCD10824864.对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥ABCD的高h1596，SBCD108，V三棱锥ABCD1086216.综上，此正三棱锥的体积为864或216.