1、第三章 不等式能力检测满分150分考试时间120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设M2a(a2)7，N(a2)(a3)，则有()AMNBMNCMNDMN【答案】A【解析】MN(2a24a7)(a25a6)a2a120，MN.2下列结论成立的是()A若acbc，则ab B若ab，则a2b2C若ab，cd，则acbd D若ab，cd，则adbc【答案】D【解析】对于A，当c0时，不成立；对于B，取a1，b2，不成立；对于C，取a2，b1，c0，d3，不成立；对于D，cd，dc，又ab，adbc，因此成立故选D3不等式0
2、的解集为()Ax|x2或x3Bx|x2或1x3Cx|2x1或x3Dx|2x1或1x3【答案】C【解析】原不等式可化为(x2)(x1)(x3)0，则该不等式的解集为x|2x1或x34(2019年湖南长沙模拟)已知变量x，y满足则z3xy的最大值是()A4B5C6D7【答案】B【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线3xy0，平移该直线，当直线经过点B(1,2)时，z取得最大值，最大值为325.5若不等式x2ax10对于一切x成立，则a的取值范围是()A(，2BCD2，)【答案】C【解析】x2ax10对于一切x成立a对于一切x成立ax对于一切x成立yx在区间上是增函数，x2.a.
3、故选C6已知函数f(x)x(p为常数且p0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为()ABC2D4【答案】B【解析】由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当(x1)2p即x1时取等号f(x)在(1，)上的最小值为4，214，解得p.7若关于x的不等式2x28x4a0在1x4内有解，则实数a的取值范围是()A(，4B4，)C12，)D(，12【答案】A【解析】y2x28x4(1x4)在x4时，取最大值4，当a4时，2x28x4a在1,4内有解8(2019年天津模拟)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为
4、500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元则该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，取得的最大收益是()A70万元B65万元C60万元D55万元【答案】A【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得即目标函数为z3 000x2 000y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图所示作直线l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直线l，当直线l过点M(100,200)时，目标函数取得最大值且zmax3 0001002 000200700 000(元)所以该公
5、司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元9(2019年浙江丽水期末)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为()A(1，)B(0,2)C(0,3)D(1,3)【答案】B【解析】由已知及三角形三边关系得两式相加，得02，y1，不等式m恒成立，则m的最大值为()A2B4C8D16【答案】C【解析】设a2x1，by1，因为x，y1，所以a0，b0且yb1，x(a1)，则2222(22)8，当且仅当ab1，即x1，y2时取等号，所以m8.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中横线上)13若关于x
6、的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.【答案】2【解析】由题意知a0且1是方程ax26xa20的一个根，a2.不等式为2x26x40，即x23x20.1x2.m2.14(2019年湖北黄冈期末)设实数x，y满足则的取值范围是_【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示易求得A(2,0)，B(2,6).的几何意义为可行域内的点与点P(3，1)连线的斜率因为kPA，kPB1，数形结合知的取值范围是.15已知二次不等式ax22xb0的解集为且ab，则的最小值为_【答案】2【解析】二次不等式ax22xb0的解集为，a0且对应方程有两个相等的实根.由根与系数的关系得，即ab1，故(ab)
7、.ab，ab0.由基本不等式可得(ab)22，当且仅当ab时取等号，故的最小值为2.16(2019年四川成都模拟)定义函数f(x)xx，其中x表示不超过x的最大整数，如1.51，1.32，当x0，n)(nN*)时，设函数f(x)的值域为A，记集合A中的元素个数为an，则的最小值为_【答案】13【解析】当n1时，即x0,1)时，x0，此时f(x)00，所以a11；当x1,2)时，x1，此时f(x)x1，所以当n2时，即x0,2)时，集合A中的元素个数是a112，即a22；同理，当x2,3)时，x2，此时f(x)2x，值域中元素有4,5两个，所以当n3时，即x0,3)时，集合A中的元素个数是a22
8、4，即a34；所以an1123(n1)1，所以，nN*.由函数图象可知当n13或14时，取得最小值13.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设x1，x2是关于x的一元二次方程x22kx1k20的两个实根，求xx的最小值【解析】由题意，得x1x22k，x1x21k2.4k24(1k2)0，k2.xx(x1x2)22x1x24k22(1k2)6k22621.xx的最小值为1.18(本小题满分12分)(1)比较(x5)(x7)与(x6)2两个代数式值的大小，并说明理由；(2)解关于x的不等式56x2axa20.【解析】(1)(x5)
9、(x7)(x6)2(x212x35)(x212x36)10，(x5)(x7)(x6)2.(2)56x2axa20，(7xa)(8xa)0，即0.当a0时，不等式化为x20，解得x.当a0时，不等式的解集为.当a0时，不等式的解集为.19(本小题满分12分)已知函数f(x)x2(lg a2)xlg b满足f(1)2且对于任意xR，恒有f(x)2x成立(1)求实数a，b的值；(2)解不等式f(x)x5.【解析】(1)由f(1)2知lg blg a10，所以10.又f(x)2x恒成立，即f(x)2x0恒成立，则有x2xlg alg b0恒成立，故(lg a)24lg b0，所以(lg b1)24lg
10、 b0，即(lg b1)20.故lg b1，即b10，a100.(2)由(1)知f(x)x24x1，f(x)x5，即x24x1x5，所以x23x40，解得4x1，因此不等式的解集为x|4x120(本小题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式；(2
11、)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？【解析】(1)依题意得y1.2(10.75x)1(1x)1 000(10.6x)(0x1)，整理，得y60x220x200(0x1)本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y60x220x200(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当即解得0x，为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0x.21(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2bxa2.(1)若关于x的不等式f(x)0的解集是(1,3)，求实数a，b的值；(2)若b2，a0，解关于x的不等式f(x)0.【解析】(
12、1)不等式f(x)0的解集是(1,3)，1,3是方程ax2bxa20的两根且a0.解得(2)当b2时，f(x)ax22xa2(x1)(axa2)，a0，(x1)0.若1，即a1，解集为x|x1若1，即0a1，解集为.若1，即a1，解集为.22(本小题满分12分)(2019年吉林延边校级月考)某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x(xN*,80x100，单位：件)之间的关系如下表所示：日产量x808182x9899100次品率pp(x)其中p(x)(a为常数)已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元(k为给定正常数)(1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【解析】(1)根据列表数据可得a108，p(x)(80x100，xN*)当日产量为x时，次品数为x，正品数为x，yxkxk.整理，得ykx(80x100，xN*)(2)令108xt，t8,28，tN*.yk(108t)kkk，当且仅当t，即t12时取得最大盈利，此时x96.为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为96件- 9 -