1、2015-2016学年福建省南平市建阳一中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1设全集为R，集合A=x|x290，B=x|1x5，则A（RB）=( )A（3，0）B（3，1）C（3，1D（3，3）2若函数是幂函数，则m的值为( )A1B0C1D23在同一坐标系中画出函数y=logax，y=ax，y=x+a的图象，可能正确的是( )ABCD4已知g（x）=12x，fg（x）=（x0），则f（）等于( )A15B1C3D305函数f（x）=的定义域为( )A（0，B（，+）C（0，）D（，）6某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )Aa3Ba3Ca3D3a37函数y
2、=loga（x+2）+1的图象过定点( )A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（1，1）8设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是( )AbacBabcCcbaDbca9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A30B45C60D9010一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是( )A12 cm3B36cm3C64cm3D108cm311函数函数f（x）=x24x+52lnx的零点个数为( )A3B2C1D012已知函数f（x）=（ax）（xb）3，m，n是方程f（x）=0的两个实根，其中ab，mn，则实数a
3、，b，m，n的大小关系是( )AambnBmanbCmabnDamnb二、填空题（每题4分，共16分）13如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_14已知f（x）是R上的奇函数，若g（x）=f（x）+4，且g（2）=3，则g（2）=_15函数y=的单调递减区间是_16已知函数y=logax（a0，且a1）在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a=_三、解答题（共6大题，共74分）17计算：（1）计算272log2+log23log34；（2）已知0x1，x+x1=3，求xx18一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）
4、求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积19若二次函数f（x）满足f（2）=1，f（1）=1且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数20在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证：（1）MN平面CC1D1D（2）平面MNP平面CC1D1D21（13分）已知函数f（x）=x2+ax+3a，其中x2，2（1）当a=1时，求它的单调区间；（2）当aR时，讨论它的单调性；（3）若f（x）124a恒成立，求a的取值范围22（13分）已知定义域为（0，+）的函数f（x）满足：x1时，f（x）0；对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）（1）求证
5、：f（1）=0，；（2）求证：f（x）在定义域内为减函数；（3）求不等式f（2）+f（5x）2的解集2015-2016学年福建省南平市建阳一中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1设全集为R，集合A=x|x290，B=x|1x5，则A（RB）=( )A（3，0）B（3，1）C（3，1D（3，3）【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】根据补集的定义求得RB，再根据两个集合的交集的定义，求得A（RB）【解答】解：集合A=x|x290=x|3x3，B=x|1x5，RB=x|x1，或 x5，则A（RB）=x|3x1，故选：C【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合
6、的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2若函数是幂函数，则m的值为( )A1B0C1D2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】计算题【分析】根据幂函数的概念可求得2m+3=1，从而可求得答案【解答】解：f（x）=（2m+3）是幂函数，2m+3=1，m=1故选A【点评】本题考查幂函数的概念，深刻理解幂函数的概念是解决问题的关键，其系数为1是突破口，属于基础题3在同一坐标系中画出函数y=logax，y=ax，y=x+a的图象，可能正确的是( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数和对数的函数的单调性，和一次函数的纵截距所得的a的范围是否一致
7、故可判断【解答】解：当0a1，y=logax，y=ax均为减函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标小于1，当a1，y=logax，y=ax均为增函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标大于于1，观察图象知，A，B，C均错，只有D正确故选：D【点评】本小题主要考查，一次函数，对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想属于基础题4已知g（x）=12x，fg（x）=（x0），则f（）等于( )A15B1C3D30【考点】函数的表示方法 【分析】可令g（x）=，得出x的值，再代入可得答案【解答】解：令g（x）=，得12x=，解得x=f（）=fg（）=15故选A【点评】本题主要考查已知函数解析式求函
8、数值的问题5函数f（x）=的定义域为( )A（0，B（，+）C（0，）D（，）【考点】对数函数的定义域 【专题】函数的性质及应用【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，然后求解对数不等式得答案【解答】解：由，得，解得0x函数f（x）=的定义域为（0，）故选：C【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题6某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )Aa3Ba3Ca3D3a3【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为a，a的直角三角形，高为a据此可计算出答案【解答】解：由三视图可知该几何体是一个
9、直三棱柱：底面是一个直角边长分别为a，a的直角三角形，高为aV=故选：C【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键7函数y=loga（x+2）+1的图象过定点( )A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（1，1）【考点】对数函数的单调性与特殊点 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由对数函数恒过定点（1，0），再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=logax（a0，a1）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=loga（x+2）+1（a0，a1）的图象又函数y=logax（a0，a1）的图
10、象恒过（1，0）点，由平移向量公式，易得函数y=loga（x+2）+1（a0，a1）的图象恒过（1，1）点，故选：D【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数y=loga（x+m）+n（a0，a1）的图象恒过（1m，n）点8设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是( )AbacBabcCcbaDbca【考点】不等关系与不等式；指数函数的单调性与特殊点 【专题】函数的性质及应用【分析】分别考察指数函数y=在R上单调性，考察对数函数y=在（0，+）单调性，即可得出【解答】解：考察指数函数y=在R上单调递减，而0.30.2，0ab考察对数函数y=在（0，+）单调递减，即c0综上可得
11、：bac故选A【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角 【专题】空间角【分析】在正方体ABCDA1B1C1D1中，由D1CA1B，知DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，D1CA1B，DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，A1D=A1B=BD，A1BD是等边三角形，DA1B=60，异面直线A1D与D1C所成的角是60故选：C【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审
12、题，注意空间思维能力的培养10一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是( )A12 cm3B36cm3C64cm3D108cm3【考点】球的体积和表面积 【专题】球【分析】由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式求球的体积【解答】解：球的半径为=3（cm），球的体积为33=36（cm3）故选：B【点评】本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股定理11函数函数f（x）=x24x+52lnx的零点个数为( )A3B2C1D0【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用【分析】将函数的零点问题转化为方程的
13、根的问题，进一步转化为函数图象的交点问题【解答】解：由题意可得x0，求函数f（x）=x24x+52lnx的零点个数，即求方程lnx=（x2）2+的解的个数数形结合可得，函数y=lnx的图象（蓝线部分）和函数y=（x2）2+（红线部分）的图象有2个交点，故f（x）=lnxx2+2x+5有两个零点，故选：B【点评】本题考查了函数零点的定义，即对应方程f（x）=0的根，是基础题12已知函数f（x）=（ax）（xb）3，m，n是方程f（x）=0的两个实根，其中ab，mn，则实数a，b，m，n的大小关系是( )AambnBmanbCmabnDamnb【考点】不等关系与不等式 【专题】函数的性质及应用【分
14、析】如图所示，在直角坐标系xOy中，画出y=（ax）（xb）的图象，再将x轴向上平移3个单位即可得出：函数f（x）=（ax）（xb）3的图象【解答】解：如图所示，在直角坐标系xOy中，画出y=（ax）（xb）的图象，再将x轴向上平移3个单位即可得出：函数f（x）=（ax）（xb）3的图象，可知：amnb故选：D【点评】本题考查了坐标轴的平移、函数的零点，考查了推理能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题二、填空题（每题4分，共16分）13如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是【考点】平面图形的直观图 【专题】计算题【分析】水平放置
15、的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1+1）2=2+故答案为：2+【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解属基础知识的考查14已知f（x）是R上的奇函数，若g（x）=f（x）+4，且g（2）=3，则g（2）=5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值 【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】直接利用函数的奇偶性，结合已知条件求解即可【解答】解：因为f（x）是R上的奇函数，g（x）=f（x）+4，所以g（2）+g（2）=f（2
16、）+4+f（2）+4=8，因为g（2）=3，所以g（2）=5故答案为：5【点评】本题考查奇函数的性质，函数值的求法，是基础题15函数y=的单调递减区间是（1，3【考点】对数函数的单调区间 【专题】计算题【分析】由x2+6x50，先求函数的定义域（1，5）由复合函数的单调性可知只需求出t（x）=x2+6x5的单调递增区间，最后于定义域取交集可得答案【解答】解：由x2+6x50解得，1x5，即函数的定义域为（1，5）函数y=可看作y=，和t（x）=x2+6x5的复合由复合函数的单调性可知只需求t（x）的单调递增区间即可，而函数t（x）是一个开口向下的抛物线，对称轴为x=，故函数t（x）在（，3上单
17、调递增，由因为函数的定义域为（1，5），故函数y=的单调递减区间是（1，3故答案为（1，3【点评】本题为复合函数的单调区间的求解，利用复合函数的单调性的法则，注意定义域优先的原则，属基础题16已知函数y=logax（a0，且a1）在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a=2或【考点】对数函数的单调性与特殊点 【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是对数函数的性质，观察到题目中的对数函数底数不确定，故要对底数进行分类讨论，然后根据单调性进行判断函数在2，4上的最大值与最小值，根据最大值与最小值之差为2构造方程即可求解【解答】解：当0a1时，f（x）=logax在2，4上单调递减故函数的最大值为f
18、（2），最小值为f（4）则f（2）f（4）=loga2loga4=loga=1解得a=当a1时，f（x）=logax在2，4上单调递增故函数的最大值为f（4），最小值为f（2）则f（4）f（2）=loga4loga2=loga2=1解得a=2故答案为：2或【点评】在处理指数函数和对数函数问题时，若对数未知，一般情况下要对底数进行分类讨论，分为0a1，a1两种情况，然后在每种情况对问题进行解答，然后再将结论综合，得到最终的结果三、解答题（共6大题，共74分）17计算：（1）计算272log2+log23log34；（2）已知0x1，x+x1=3，求xx【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求
19、值 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出；（2）利用指数的运算法则、乘法公式即可得出【解答】解：（1）原式=3（3）+=9+9+2=20（2）0x1，x+x1=3，=x+x12=32=1，xx=1【点评】本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（1）几何体是正四棱锥与正方体的组合体，根据三视图判断正方体的棱长及正四棱锥的高，代入棱锥与正方体的体积公式
20、计算；（2）利用勾股定理求出正四棱锥侧面上的斜高，代入棱锥的侧面积公式与正方体的表面积公式计算【解答】解：（1）由三视图知：几何体是正四棱锥与正方体的组合体，其中正方体的棱长为4，正四棱锥的高为2，几何体的体积V=43+422=；（2）正四棱锥侧面上的斜高为2，几何体的表面积S=542+44=【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键19若二次函数f（x）满足f（2）=1，f（1）=1且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义 【专题】计算题【分析】由题意知x=2与x=1
21、是方程f（x）+1=0的两个根，故解决本题宜将函数设为两根式，这样引入的参数最少，然后再利用函数最值为8，即f（x）+1的最大值为9建立方程求参数【解答】解：二次函数f（x）满足f（2）=1，f（1）=1x=2与x=1是方程f（x）+1=0的两个根设f（x）+1=a（x2）（x+1）=a（x2x2）=a（x）2f（x）的最大值是8，f（x）+1的最大值为9，且a0a=9，得a=4故f（x）+1=4（x2）（x+1）=4x2+4x+8所以f（x）=4x2+4x+7答：二次函数的解析式为f（x）=4x2+4x+7【点评】考查求二次函数的解析式，主要用待定系数法，常设的形式有三种，一般式，顶点式，两
22、根式，在做题时就根据题目条件灵活选用采取那一种形式，如本题，设为两根式最方便20在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证：（1）MN平面CC1D1D（2）平面MNP平面CC1D1D【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可【解答】证明：（1）连接AC，CD1，ABCD是正方形，N是BD中点，N是AC中点，又M是AD1中点，MNCD1，MN平面CC1D1D，CD1平面CC1D1D，MN平面CC1D1D；（2）连接BC1，C1D，B1BC
23、C1是正方形，P是B1C的中点，P是BC1中点，又N是BD中点，PNC1D，PN平面CC1D1D，CD1平面CC1D1D，PN平面CC1D1D，由（1）得MN平面CC1D1D，且MNPN=N，平面MNP平面面CC1D1D【点评】本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，是一道中档题21（13分）已知函数f（x）=x2+ax+3a，其中x2，2（1）当a=1时，求它的单调区间；（2）当aR时，讨论它的单调性；（3）若f（x）124a恒成立，求a的取值范围【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（1）a=1时写出f（x）表达式，根据其图象可得单调区间；（2）f
24、（x）的对称轴方程为x=，分2，2，4a4三种情况讨论：结合图象可得函数单调区间；（3）根据不等式分离出参数a后转化为求函数的最值即可；【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2+x+2，对称轴方程为x=，则f（x）的单调减区间为2，；单调减区间为，2；（2）f（x）=x2+ax+3a，对称轴方程为x=，下面分三种情况讨论：当2时得a4，f（x）的单调增区间为2，2；当2时得a4，f（x）的单调减区间为2，2；当4a4时，f（x）的单调减区间为2，单调增区间为，2（3）当x2，2时，有f（x）124a恒成立，等价于a3x，只要a（3x）max，而x2，2，所以a5【点评】本题考查二次函数的性
25、质、函数恒成立问题，考查数形结合思想、转化思想，属中档题22（13分）已知定义域为（0，+）的函数f（x）满足：x1时，f（x）0；对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）（1）求证：f（1）=0，；（2）求证：f（x）在定义域内为减函数；（3）求不等式f（2）+f（5x）2的解集【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质 【专题】计算题；证明题【分析】（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0，令x=x，y=，即可证得f（）=f（x）；（2）设任意0x1x2，则1，可证得f（x2）f（x1）0；（3）根据可求得f（2）=1，从而可得f（5x）f（2），再利用f（x）在定义域内为
26、减函数，即可求得其解集【解答】证明（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，令x=x，y=，则f（1）=f（x）+f（）=0，即f（）=f（x），（2）x1时，f（x）0，设任意0x1x2，则1，f（x2）f（x1）=f（x2）+f（）=f（）0，f（x2）f（x1），f（x）在定义域内为减函数；（3）f（）=1，f（）=f（x），f（2）=f（）=1得，f（2）=1，即有f（2）+f（2）=2，f（2）+f（5x）2可化为f（2）+f（5x）f（2）+f（2），即f（5x）f（2），又f（x）在定义域内为减函数，05x2，解得3x5原不等式的解集为：x|3x5【点评】本题考查抽象函数及其用，难点在于（2）用单调性的定义证明f（x）在定义域内单调递减时的变化及（3）中对f（2）+f（5x）2的转化，突出考查化归思想，属于难题- 15 -
