1、 考点(一)角的概念 【基本知识通关】1角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 2角的分类 角的分类 按旋转方向不同分类 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类 象限角：角的终边在第几象限，这 个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上 3终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ 4.确定n(n2，nN*)终边位置的方法步骤 讨论法(1)用终边相同角的形式表示出角 的范围；(2)写出n 的范围；(3)根据 k 的可能取值讨论确定n
2、的终边所在位置 等分象 限角法 已知角 是第 m(m1,2,3,4)象限角，求n 是第几象限角(1)等分：将每个象限分成 n 等份；(2)标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4，直至回到 x 轴正半轴；(3)选答：出现数字 m 的区域，即为n 的终边所在的象限【知识应用通关】1若 k360，m360(k，mZ)，则角 与 的终边的位置关系是()A重合 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称【答案】C【解析】角 与 终边相同，与 终边相同又角 与 的终边关于 x 轴对称角 与 的终边关于 x 轴对称 2集合 k4 k2，kZ中的角所表示的范围(阴影
3、部分)是()【答案】C 3若角 是第二象限角，则2 是()A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象限角 D第二或第四象限角【答案】C【解析】是第二象限角，2 2k2k，kZ，4 k2 1，则角 的终边在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】B 2.已知角 终边上一点 P 的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则 sin()Asin 2 Bsin 2 Ccos 2 Dcos 2【答案】D【解析】因为 r222，由任意三角函数的定义，得 sin yrcos 2.3.在平面直角坐标系中，点 M(3，m)在角 的终边上，点 N(2m，4)在角 4 的终边上，则 m()A6 或
4、 1 B1 或 6 C6 D1【答案】A 【解析】由题意得，tan m3，tan4 42m2m，2m1m31m3，m6 或 1，故选 A.4.已知角 的终边经过点 P(x,3)(x0)且 cos 1010 x，则 x()A1 B13 C3 D2 23 【答案】A【解析】由题意，得xx29 1010 x，故 x2910，解得 x1.因为 x0，所以 x1，故选 A.第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 考点(一)同角三角函数的基本关系 【基本知识通关】1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan sin cos k2，kZ.2同角三角函数基本关系式的
5、应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式 tan sin cos 化成正弦、余弦，或者利用公式sin cos tan 化成正切 表达式中含有 sin，cos 与tan “1”的变换 1sin2cos2cos2(1tan2)(sin cos)22sin cos tan4 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin cos)212sin cos 进行变形、转化 表达式中含有 sin cos 或sin cos 【知识应用通关】1.若 2，2，sin 35，则 cos()()A45 B.45 C.35 D35【答案】B【解析】因为 2，2，sin 35，所以 2，0，cos
6、 45，则 cos()45.2.已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos2()A43 B.54 C34 D.45【答案】D 3.已知 sin cos 15，0，则 tan()A43 B34 C.34 D.43【答案】A 4.已知 sin cos 18，且54 32，则 cos sin 的值为()A 32 B.32 C34 D.34【答案】B【解析】54 32，cos 0，sin 0 且|cos|0.又(cos sin)212sin cos 121834，cos sin 32.5.已知 tan 43，求：(1)sin 4cos 5sin 2cos 的值；(2)1cos2sin2的值
7、；(3)sin22sin cos 的值【答案】825【解析】(1)sin 4cos 5sin 2cos tan 45tan 2434543 287.考点(二)三角函数的诱导公式 【基本知识通关】1.诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ)2 2 正弦 sin sin_ sin_ sin_ cos_ cos_ 余弦 cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ 正切 tan tan_ tan_ tan_ 2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”3利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)
8、结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 4.应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值问题要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错 【知识应用通关】1已知 sin52 35，那么 tan 的值为()A43 B34 C43 D34【答案】C【解析】sin52 35化为 cos 35，那么 sin 45，tan 43，
9、故选 C.2已知 atan76，bcos 234，csin334，则 a，b，c 的大小关系为()Aabc Bbac Cbca Dacb【答案】B 3已知 2，且 cos 513，则tan2()A.1213 B1213 C.1312 D1312【答案】C【解析】2，且 cos 513，sin 1213，则tan2cos sin cos 1sin 1312.4已知 Aksin kcos(kZ)，则 A 的值构成的集合是()A1，1,2，2 B1,1 C2，2 D1，1,0,2，2【答案】C 5已知 tan6 33，则 tan56 _.【答案】33 【解析】tan56 tan6 tan6 tan6
10、 33.第三节 三角函数的图象与性质 突点(一)三角函数的定义域和值域 【基本知识通关】1.三角函数的图像和性质 三角函数 正弦函数 ysin x 余弦函数 ycos x 正切函数 ytan x 图象 定义域 R R 错误!k2，kZ 值域 1,1 1,1 R 最值 当且仅当 x2 2k(kZ)时，取得最大值 1；当且仅当 x当且仅当 x2k(kZ)时，取得最大值 1；当且仅当 x2k(kZ)时，取得最小值1 2 2k(kZ)时，取得最小值1 2.三角函数值域或最值的三种求法 直接法 形如 yasin xk 或 yacos xk 的三角函数，直接利用 sin x，cos x 的值域求出 化一法
11、 形如 yasin xbcos xk 的三角函数，化为 yAsin(x)k 的形式，确定 x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)换元法 形如 yasin2xbsin xk 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)【知识应用通关】1.函数 y cos x 32 的定义域为()A.6，6 B.k6，k6(kZ)C.2k6，2k6(kZ)D(，)【答案】C【解析】要使函数有意义，则cos x 32 0，即 cos
12、 x 32，解得 2k6 x2k6，kZ.2.函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域为_【答案】3，2 0，2 【解析】由 sin 2x0，9x20，得 kxk2，kZ，3x3.3x2 或 0 x2.函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域为3，2 0，2.3.函数 y3sin x2cos2x，x6，76的值域为_ 4.求函数 ysin xcos x3cos xsin x 的最值 解：令 tsin xcos x，则 t 2，2 (sin xcos x)22sin xcos x1，sin xcos xt212，y32t2t32，t 2，2，对称轴 t13 2，2，yminf13 32191
13、33253，ymaxf(2)32 2.考点(二)三角函数的性质 【基本知识通关】1.三角函数的性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 最小正 周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 2k2，k2为增；2k，2k为减；2k，2k为增，kZ k2，k2 为增，kZ 2k2，k32为减，kZ 对称 中心(k，0)，kZ k2，0，kZ k2，0，kZ 对称轴 xk2，kZ xk，kZ 2.求三角函数单调区间的两种方法 代换法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解 图象法 画出三角函数的正、余弦曲线
14、，结合图象求它的单调区间 提醒 求解三角函数的单调区间时，若 x 的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域 3.已知单调区间求参数范围的三种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子 集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期 性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解 4.三角函数周期的求解方法 公式法(1)三角函数 ysin x，ycos x，ytan x 的最小正周期分别为 2，2，；(2)yAsin(x)和 yAcos(
15、x)的最小正周期为 2|，ytan(x)的最小正周期为|图象法 利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期 5.与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x的形式，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式常见的结论有：(1)若 yAsin(x)为偶函数，则有k2(kZ)；若为奇函数，则有k(kZ)(2)若 yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k2(kZ)(3)若 yAtan(x)为奇函数，则有k(kZ)6.三角函数对称轴和
16、对称中心的求解方法 定义法 正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心是图象与 x 轴的交点，即函数的零点 公式法 函数 yAsin(x)的对称轴为 xk 2，对称中心为k，0；函数 yAcos(x)的对称轴为 xk，对称中心为k 2，0；函数 yAtan(x)的对称中心为k2，0.上述 kZ 【知识应用通关】1.函数 y3cos25x6 的最小正周期是()A.25 B.52 C2 D5【答案】D【解析】由 T2255，知该函数的最小正周期为 5.2.函数 ysin2 2x，xR 是()A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为2 的奇函数 C最小正周期为 的
17、偶函数 D最小正周期为2 的偶函数【答案】C【解析】函数 ysin2 2x cos 2x，显然函数是偶函数，且最小正周期 T22.故选 C.3.下列函数中，最小正周期是 且在区间2，上是增函数的是()Aysin 2x Bysin x Cytan x2 Dycos 2x【答案】D【解析】ysin 2x 在区间2，上的单调性是先减后增；ysin x 的最小正周期是 T2 2；ytan x2的最小正周期是 T2；ycos 2x 满足条件故选 D.4.已知函数 f(x)2sin(2x)|0，|0，0)振幅 周期 频率 相位 初相 A T2 f1T 2 x 2.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简
18、图 用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x 2 32 2 x 0 2 32 2 yAsin(x)0 A 0 A 0 3.由函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法 4.“五点法”画图(1)ysin x 的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)，图象如图所示 (2)ycos x 的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)，图象如图所示 5三角函数图象的变换 函数 yAsin(x)k(A0，0)中，参数 A，k 的变化引起图象的变
19、换：A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”6.三角函数图象变换的两个要点 常规 方法 主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量 x，如果 x 的系数不是 1，则需把 x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向 方程 思想 可以把判断的两函数变为同名的函数，且 x 的系数变为一致，通过列方程求解，如 ysin 2x 变为 ysin2x3，可设平移 个单
20、位长度，即由 2(x)2x3 解得 6，向左平移6，若 0 说明向右平移|个单位长度 7.确定 yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，bMm2；(2)求：确定函数的周期 T，则可得2T；(3)求：常用的方法有代入法和五点法 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，b 已知)或代入图象与直线 yb 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口 【知识应用通关】1.设 kR，则函数 f(x)sinkx6 k 的部分图象不可能为()【答案】D 2.函数
21、f(x)Acos(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，为了得到 g(x)Asin x 的图象，只需将函数 yf(x)的图象()A向左平移6 个单位长度 B向左平移12个单位长度 C向右平移6 个单位长度 D向右平移12个单位长度【答案】B【解析】由题图知 A2，T23 6 2，T，2，f(x)2cos(2x)，将3，2 代入得 cos23 1，0，3 23 0，0，|0，|2 的最小正周期为，若其图象向左平移3 个单位长度后关于 y轴对称，则()A2，3 B2，6 C4，6 D2，6 【答案】D【解析】由已知条件得，2，因而 2，所以 f(x)sin(2x)，将 f(x)的图象向左平移3
22、个单位长度后得到函数 g(x)sin2x3 sin2x23 的图象，由题意知 g(x)为偶函数，则23 2 k，kZ，即 k6，kZ，又|2，所以 6.6.设 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)把 f(x)的单调递增区间；(2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移3 个单位，得到函数 yg(x)的图象，求 g6 的值 所以 g6 2sin 6 31 3.考点(二)三角函数模型的简单应用 【基本知识通关】1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其
23、关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模 2.解决三角函数实际应用题的四个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化；(3)“x”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合 【知识应用通关】1.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 IAsin(t)A0，0，02 的图象如图所示，则当 t 1100秒时，电流强度是()A5 安 B5 安 C5 3安 D10 安【答案】A 2某城市一年中 12 个月的平均气温与月份 的关系可近似地用三角函数 yaAc
24、os6x(x1,2,3，12)来表示，已知 6 月份的平均气温最高，为 28，12 月份的平均气温最低，为 18，则10 月份的平均气温值为_.【答案】20.5【解析】依题意知，a2818223，A281825，所以 y235cos6x，当 x10 时，y235cos6 4 20.5.3为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：每年相同的月份，入住客栈
25、的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在 2 月份最少，在 8 月份最多，相差约 400 人；2 月份入住客栈的游客约为 100 人，随后逐月递增直到 8 月份达到最多(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物？【答案】（1）f(x)200sin6 x56300.（2）即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.(2)由条件可知，200sin6 x56300400，化简得 sin6 x5612，即 2k6 6 x56 2k56，kZ，解得 12k6x12k10，kZ.因为 xN*，且 1x1
26、2，故 x6,7,8,9,10.即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.第五节 三角恒等变换【基本知识通关】1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C()cos()cos cos sin sin C()cos()cos_cos_sin_sin_ S()sin()sin_cos_cos_sin_ S()sin()sin_cos_cos_sin_ T()tan()tan tan 1tan tan；变形：tan tan tan()(1tan tan)T()tan()tan tan 1tan tan；变形：tan tan tan()(1tan tan)2.二倍角公式 S2 si
27、n 22sin_cos_；变形：1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2 C2 cos 2cos2sin22cos2112sin2；变形：cos21cos 22，sin21cos 22 T2 tan 2 2tan 1tan2 3.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 4给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)(3)将已知条件代入所求式子，化简求值 5给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值 已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围
28、是 0，2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为2，2，选正弦函数较好(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角 【知识应用通关】1.4sin 80cos 10sin 10()A.3 B 3 C.2 D2 23【答案】B 2.已知 cos2345，2 0，则 sin3 sin()A4 35 B3 35 C.3 35 D.4 35 【答案】A 3.若cos 2sin cos 12，则 sin4 的值为()A.12 B12 C.24 D 24 【答案】C【解析】cos 2sin cos cos2sin2sin cos(cos sin)2sin4 12，sin
29、4 24.故选 C.4.已知 sin 213，则 cos24()A.13 B13 C.23 D23【答案】C【解析】法一(利用两角差的余弦公式)：cos24 cos cos 4 sin sin 42 12(cos sin)2 12(12sin cos)12(1sin 2)12113 23.法二(利用余弦的二倍角公式)：cos24 1cos2221sin 221132 23.5.已知 6，且 3(tan tan 2)2tan 3tan 0，则 tan()A 33 B.3 C 3 D3 3【答案】D 6.定义运算a bc d adbc.若 cos 17，sin sin cos cos 3 314，
30、02，则 _.【答案】3 【解析】依题意有 sin cos cos sin sin()3 314.又 02，00)求周期；根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 yAsin(x)t 或 yAcos(x)t 的单调区间 【知识应用通关】1已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR)(1)求 f23的值；(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 2设函数 f(x)sin xcos x3cos2x32(0)的图象上相邻最高点与最
31、低点的距离为24.(1)求 的值；(2)若函数 yf(x)02 是奇函数，求函数 g(x)cos(2x)在0,2上的单调递减区间【答案】（1）12（2）6，23，76，53【解析】(1)f(x)sin xcos x 3cos2x 32 12sin 2x 3cos 2x2 32 12sin 2x 32 cos 2xsin2x3.第六节 正弦定理和余弦定理 考点(一)利用正、余弦定理解三角形 【基本知识通关】定理 正弦定理 余弦定理 内容 asin Absin Bcsin C2R(其中 R 是ABC 外接圆的半径)a2b2c22bccos A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos
32、_C 变形形式 a2Rsin A，b2 R sin_B，c2 R sin_C；sin A a2R；sin B b2R；sin C c2R；abcsin_Asin_Bsin_C；asin Bbsin A，bsin C csin B，asin Ccsin A；abcsin Asin Bsin C2 R cos Ab2c2a22bc；cos Ba2c2b22ac；cos Ca2b2c22ab 2.利用正弦定理可以解决的两类问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况
33、3.利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角(2)已知三边，求三个内角 4.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 【知识应用通关】1.在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120，则 AC()A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C，即 13AC292AC3cos 120，化简得 AC23AC40，解得 AC1 或 AC4(舍去)故选 A.2.已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 3bcos Cc(13cos B)，则 sin Csin A()A23 B43 C31 D32【
34、答案】C【解析】由正弦定理得 3sin Bcos Csin C3sin Ccos B,3sin(BC)sin C，因为 ABC，所以BCA，所以 3sin Asin C，所以 sin Csin A31，故选 C.3.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a4，b2 6，sin 2Asin B，则边 c 的长为()A2 B3 C4 D2 或 4【答案】D【解析】由 sin 2Asin B，得 2sin Acos Asin B，由正弦定理得 24cos A2 6，所以 cos A 64.再由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc，解得 c2 或 c4.故选 D.4.在AB
35、C 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2 3bc，sin C2 3sin B，则 A()A30 B60 C120 D150【答案】A 5.已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2b2ab.(1)若 6，B56，求 sin A；(2)若 4，AB 边上的高为 3c6，求 C.【答案】（1）6 24（2）3 【解析】(1)由已知 B56，a2b2 6ab，结合正弦定理得 考点(二)正、余弦定理的综合应用 【基本知识通关】1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在ABC 中，c 是最大的边，若 c2a2b2，则ABC 是钝角三角形 2判断三角形形状的常用技
36、巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用 ABC 这个结论 3.三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解 4
37、.求解与三角形面积有关的问题的步骤 5.三角形中最值范围问题的解题思路 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所 求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大 提醒涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化 6.平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形
38、之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 提醒 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题 【知识应用通关】1.在ABC 中，cos2B2ac2c(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形状为()A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形【答案】B 2.在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，已知 a2，c2 2，且 C4，则ABC 的面积为()A.31 B.31 C4 D2【答案】A【解析】由正弦定理asin Absin Bcsi
39、n C，得2sin A2 222，所以 sin A12，又 aBC10，由 cos 60AB2AC21002ABAC，得(ABAC)21003ABAC，而 ABACABAC22，所以ABAC21003ABAC22，解得 ABAC20，故 ABAC 的取值范围为(10,20 5.如图，在ABC 中，AB2，cos B13，点 D 在线段 BC 上(1)若ADC34，求 AD 的长 (2)若 BD2DC，ACD 的面积为43 2，求sinBADsinCAD的值【答案】（1）83（2）4 2 考点(三)解三角形应用举例 【基本知识通关】1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰
40、角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)3方向角 相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似 4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图，角 为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比 5.求解高度问题应注意的问题(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地
41、面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 6.处理距离问题的策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 7.解决角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问
42、题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点 【知识应用通关】1.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为()Aa km B.2a km C2a km D.3a km【答案】D【解析】依题意知ACB1802040120，在ABC 中，由余弦定理知 AB a2a22aa12 3a(km)，即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 3a km.2.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进
43、行气候观测，如图所示，A，B，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在 C 地进行弹射实验，观测点 A，B 两地相距 100 米，BAC60，在 A 地听到弹射声音比 B 地晚 217秒(已知声音传播速度为 340米/秒)，在 A 地测得该仪器至高 H 处的仰角为 30，则这种仪器的垂直弹射高度 HC_米 【答案】140 3 3.如图所示，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 30角的方向沿直线前往 B 处营救，则 sin 的值为_ 【答案】217