1、杨浦区2012学年第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(文) 2013.1.考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上2本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1. 若函数的反函数为，则【答案】0【KS5U解析】由得，即。2若复数 (为虚数单位) ，则 .【答案】【KS5U解析】因为，则。3抛物线的焦点到准线的距离为 .【答案】2【KS5U解析】由抛物线的方程可知，所以，即抛物线的焦点到准线的距离为2.4. 若线性
2、方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是 【答案】【KS5U解析】由题意可知对应的线性方程组为，解得。所以该线性方程组的解是。5若直线:，则该直线的倾斜角是 .【答案】【KS5U解析】由得，所以直线的斜率为，所以，即直线的倾斜角为。6. 若的二项展开式中，的系数为，则实数 【答案】【KS5U解析】二项展开式的通项公式为，由得，所以，即的系数为，所以，所以。7. 若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为 .【答案】【KS5U解析】因为线与旋转轴的夹角，设底面圆的半径为，则。所以底面圆的周长，所以该圆锥的侧面积。8. 设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前 项的和_【答案】
3、【KS5U解析】由题意知，又，所以，所以。9. 若直线过点，且与圆相切，则直线的方程为【答案】或【KS5U解析】圆心为,半径，当直线的斜率不存在时，即，此时与圆相切，满足条件。若直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线的方程为，即。若与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，此时直线方程为，所以直线的方程为或。10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为和， 则且的概率是_ _ .【答案】【KS5U解析】一颗质地均匀的骰子连续投掷两次有36种结果。若且，则有，共8种，所以且的概率是。11.若函数 ()的图像过定点,点在曲线 上运动,则线段中点轨迹方程是 【答案】【KS5U解析】由，得，解得
4、，此时，所以函数过定点.设,则,因为在曲线上运动,，所以，整理得，即的轨迹方程是。12如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中米，米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上. 则矩形面积的最大值为_ 平方米 . 【答案】48【KS5U解析】设,作于,所以,在中，,所以，即。设矩形面积所以,则，因为，所以函数在上单调递增，所以当时，有最大值平方米。13设的内角的对边长分别为，且 ，则的值是_【答案】4【KS5U解析】由得，即，所以，即。14已知函数 若函数有3个零点， 则实数的取值范围是_【答案】【KS5U解析】画出函数的图像如右，有3个零点，即是直线与函数的
5、图像有三个交点，由图可知：二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15 “”是“函数在区间内单调递增”的（ ）充分非必要条件 必要非充分条件充要条件 既非充分又非必要条件【答案】A【KS5U解析】若函数在区间内单调递增，则有，所以“”是“函数在区间内单调递增”的充分非必要条件，所以选A.16若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且， ()，则复数在复平面上对应的点位于 （ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限【答案】D【KS5U解析】因为，且，即。所以解得或（舍去）。所以。所以，
6、即对应坐标为，所以点在第四象限，所以选D.17若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，=，则到轴的距离为 （ ） 【答案】B【KS5U解析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则，又 ，.18. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：， ， ， ，则为“保比差数列函数”的所有序号为 （ ） 【答案】C【KS5U解析】对于，lnf(an)= ln=-lnan=-ln(a1qn-1)=-lna1-(n-1)lnq为等差数列，故是，(B)、(D)均错；对于，lnf(an)= ln=ln(a1qn-
7、1)=lna1+(n-1)lnq为等差数列，故是，(A)错，故选(C).三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 PCDE 如图，在三棱锥中，平面，,分别是的中点，（1）求三棱锥的体积；（2）若异面直线与所成角的大小为，求的值.20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 (文) 已知函数， （1）若，求的值； （2）设，求在区间上的最大值和最小值. 21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
8、已知椭圆的两个焦点分别是、，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项. （1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数的值域为集合，（1）若全集，求；（2）对任意，不等式恒成立，求实数的范围；（3）设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为、，求的值23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 设数列满足且（）,前项和为已知点, ,都在直线上(其中常数且,， ),又 （1）求
9、证：数列是等比数列； （2）若，求实数，的值； （3）如果存在、，使得点和点都在直线上问 是否存在正整数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研 2013.1.5 一填空题:1. 0；2；32；4. （向量表示也可）；5；6. ；7. 8. 2013；9.或； 10. ；11. 12 48；13；14 二、选择题: 15；16；17；18. 三、解答题19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 (1)由已知得， 2分 所以 ，体积 5分(2)取中点，连接，则，所以就是异面直线与所成的角. 7分由已
10、知， . 10分在中，所以，. 12分(其他解法，可参照给分)20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 解：（1）因为， 则 ， 所以 . 3分平方得，=， 5分所以 . 7分（2）因为= = 9分 = =. 11分 当时，. 12分 所以，当时，的最大值为； 13分 当时，的最小值为. 14分21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 （1）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . 1分由题意得 ， . 4分故椭圆的方程为 . 6分（2）解：当轴时，显然. 7分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由 消去整理得 . 9分设，线段的中
11、点为，则 . 10分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 12分当时，；当时，.所以，或. 13分综上，的取值范围是. 14分22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. (1)由已知得， ，则 1分当且仅当时，即等号成立， 3分所以， 4分(2)由题得 5分函数在的最大值为 9分 10分(3)设，则直线的方程为，即， 11分由 得 13分又， 14分 所以，故 16分23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（1）因为点都在直线上，所以，得， 2分其中 3分因为常数，且，所以为非零常数所以数列是等比数列 4分（2）由，得， 7分所以，得 8分由在直线上，得， 9分令得 10分（3）由知恒成立等价于因为存在、，使得点和点都在直线上由与做差得： 12分易证是等差数列，设其公差为，则有，因为，所以，又由，而得得 即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数， 16分使，, 即 解得因为，所以，即存在自然数，其最小值为，使得当 时，恒成立 18分（其它解法可参考给分）