1、课时跟踪检测（十三） 空间向量的数乘运算层级一学业水平达标1已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x的值为()A1B0C3 D.解析：选Dx，且M，A，B，C四点共面，x1，x.2已知空间向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：选A2a4b2，A，B，D三点共线3若空间中任意四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()APAB BPABC点P可能在直线AB上 D以上都不对解析：选A因为mn1，所以m1n，所以(1n) n，即n()，即n，所以与共线又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上
2、，即PAB.4在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A32B0C0D解析：选C0，M与A，B，C必共面5已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若xy()，则()Ax1，y Bx，y1Cx1，y Dx1，y解析：选D因为()，所以x1，y.6化简：(a2b3c)53(a2bc)_.解析：原式abcabc3a6b3cabcabc.答案：abc7在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.解析：()，又，所以.答案：8有下列命题：若，则A，B，C，D四点共线；若，则A，B，C三点共线；若e1，e2为不共线的非零向量，a4e1e2，be1e2，则ab；若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量
3、，且满足等式k1e1k2e2k3e30，则k1k2k30.其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上)解析：根据共线向量的定义，若，则ABCD或A，B，C，D四点共线，故错；因为且，有公共点A，所以正确；由于a4e1e24e1e24b，所以ab.故正确；易知也正确答案：9.在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量解：G是BCD的重心，BE是CD边上的中线，.又()， (如图所示)10.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
4、(2)若xyz，求xyz的值解：(1)证明：ABCDA1B1C1D1是平行六面体，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面(2)()，又xyz，x1，y1，z，xyz.层级二应试能力达标1给出下列命题：若A，B，C，D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若，共线，则ABCD；对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若x y z (其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面其中不正确命题的个数是()A1B2C3 D4解析：选C显然正确；若a，b共线，则|a|b|ab|或|ab|a|b|，故错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故错误；只有当xyz1时，P
5、，A，B，C四点才共面，故错误故选C.2若a，b是平面内的两个向量，则()A内任一向量pab(，R)B若存在，R使ab0，则0C若a，b不共线，则空间任一向量pab(，R)D若a，b不共线，则内任一向量pab(，R)解析：选D当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，0时，ab0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确3已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使kminj是i，j，k共面的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若i与j不共线，则k与i，j共面存在唯一的一对实
6、数x，y，使kxiyj，x，y不一定非零故选A.4若P，A，B，C为空间四点，且有，则1是A，B，C三点共线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C若1，则()，即，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则存在实数，使，故()，整理得(1) ，令1，则1，故选C.5.如图，已知空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_(用向量a，b，c表示)解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.答案：3a3b5c6.如图所示，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，
7、E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：aa()aa()abc.答案：abc7.如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GMGA13.求证：B，G，N三点共线证明：设a，b，c，则a(abc)abc，()abc，.又BNBGB，B，G，N三点共线8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，E，F，G，H分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R是所在边的中点，且，.由题意知四边形MNQR是平行四边形，()()()()()又.，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面(2)平行证明如下：由(1)得，平面ABCD.又，.即EF平面ABCD.又EGEFE，平面EFGH与平面ABCD平行7