1、1.4生活中的优化问题举例课时过关能力提升基础巩固1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析:y=-x2+81,令y=0,得x=9(x=-9舍去),且经讨论知x=9是函数的极大值点,所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件.答案:C2.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y1=17x2(x0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y2=2x3-x2(x0).为使利润最大,
2、应生产()A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台解析:设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x0),所以y=-6x2+36x=-6x(x-6).令y=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点也是函数的最大值点.答案:A3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是()A.6时B.7时C.8时D.9时
3、解析:y=-38t2-32t+36,令y=0,解得t=8或t=-12(舍去),当0t0;当t8时,y0).令l=-512y2+2=0,解得y=16(负根舍去).当0y16时,l16时,l0.所以当y=16时,函数l=512y+2y(y0)取得极小值,也就是最小值,此时x=51216=32.答案:A5.某莲藕种植塘每年的固定成本是10 000元,每年最大规模的种植量是40 000千克,每种植一千克藕,成本增加0.5元.已知收入函数是R(q)=-13q3+10 000q2+4 020 0012q(q是莲藕的质量,单位:千克),问每年种植()千克莲藕,可使利润最大.A.10 000B.12 000C
4、.20 000D.20 100解析:由题意,得利润L=-13q3+10 000q2+4 020 0012q-10 000-0.5q=-13q3+10 000q2+2 010 000q-10 000(00),则水桶的高为27r2,所以S=r2+2r27r2=r2+54r(r0).求导,得S=2r-54r2.令S=0,解得r=3.当0r3时,S3时,S0.所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.答案:37.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的长和宽分别为.解析:设第一象限中位于抛物线上的矩形的顶点为(x,y),其中0x
5、0,则在抛物线上的另一个顶点为(-x,y),在x轴上的两个顶点分别为(-x,0),(x,0).设矩形的面积为S,则S=2x(4-x2)(0x2),则S=8-6x2.令S=0,得x=233或x=-233(舍去).当0x0;当233x2时,S0).所以q=0.012v-96v2=0.012v2(v3-8 000).令q=0,解得v=20.因为当0v20时,q20时,q0,所以当v=20时,q取得最小值.故当轮船的速度为20海里/时时,航行1海里所需费用总和最小.能力提升1.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则当其表面积最小时,底面边长为()A.3VB.32VC.34VD.23V解析:设直棱柱的
6、底面边长为x,侧棱长为l,则V=12x2sin 60l,l=4V3x2.S表=x2sin 60+3xl=32x2+43Vx.令S表=3x-43Vx2=0,x3=4V,即x=34V.又当x(0,34V)时,S表0,当x=34V时,直棱柱的表面积最小.答案:C2.某银行准备设立一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为()A.3.2%B.2.4%C.4%D.3.6%解析:依题意知存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的
7、贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0x0.048).故y=0.096kx-3kx2.令y=0,解得x=0.032或x=0(舍去).当0x0;当0.032x0.048时,y0.因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益.答案:A3.已知横梁的强度和它的矩形横断面的宽与矩形横断面的高的平方的积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的高和宽分别为()A.3d,33dB.3d,dC.63d,33dD.63d,3d解析:如图,设矩形横断面的宽为x,高为y,由题意知当xy2取最大值时,横梁的强度
8、最大.y2=d2-x2,xy2=x(d2-x2)(0xd).令f(x)=x(d2-x2)(0xd),求导,得f(x)=d2-3x2.令f(x)=0,解得x=33d或x=-33d(舍去).当0x0;当33dxd时,f(x)0,因此,当x=33d时,f(x)取得极大值,也是最大值.此时y=63d.综上,当矩形横断面的高为63d,宽为33d时,横梁的强度最大.答案:C4.将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形.若S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小值是.解析:设剪成的上面一块正三角形的边长为x.则S=(3-x)234-34x2=433(3-x)21-x2(0x1
9、),S=433-6x2+20x-6(1-x2)2=-833(3x-1)(x-3)(1-x2)2.令S=0,得x=13或x=3(舍去).故x=13是S的极小值点且是最小值点,且Smin=4333-1321-19=3233.答案:32335.设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,高为h,底面半径为r.已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,则当hr=时,造价最低.解析:由题意知铁桶的高为h,底面半径为r,设单位面积铁的造价为m,桶的总造价为y,则y=3mr2+m(r2+2rh).V=r2h,h=Vr2,y=4mr2+2mVr.y=8mr-2mVr2.令y=0,解得r=V413,此时h=4V413.
10、故当rV413时,yV413时,y0,函数单调递增.r=V413为函数的极小值点,且是最小值点.当r=V413时,y有最小值,即当hr=41时,总造价最低.答案:416.在边长为60 cm的正方形铁皮的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱高为x cm,则箱底边长为(60-2x)cm,则箱子容积V关于x的函数为V(x)=(60-2x)2x(0x30).令V(x)=0,即12x2-480x+3 600=0,解得x=10或x=30(舍去).易知x=10是V(x)唯一的极大值点也就是最大值点.因为V(10)=1
11、6 000,所以当x=10 cm,箱底的边长为40 cm时,箱子的容积最大,且为16 000 cm3.7.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5 km和40 km,点N到l1,l2的距离分别为20 km和2.5 km.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切
12、于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知,y=1 000x2(5x20),则点P的坐标为t,1 000t2,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=-2 000x3,则l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2.故f(t)=3t22+3 000t22=32t2+4106t4,t5,20.设g(t)=t2+4106t4,则g(t)=2t-16106t5.令g(t)=0,解得t=102.当t(5,102)时,g(t)0,g(t)是增函数.从而,当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=153.答:当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153 km.
