1、上海市宝山区2021届高三期中二模数学试卷2021.4一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 抛物线的焦点到准线的距离为 2. 不等式的解集为 3. 若关于、的方程组有无穷多组解，则的值为 4. 若（是虚数单位）是方程（）的一个根，则 5. 已知常数，若函数反函数的图像经过点，则 6. 设无穷等比数列的公比为，若，则 7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为 8. 在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）9. 如图，点为矩形的边的中点，将矩形绕直线旋转所得到的几何体体积记为，将绕直线旋转所得到的几何体体积记为，则的值为 10. 为
2、巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设函数（），若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为 12. 如图，若同一平面上的四边形满足：（，），则当的面积是的面积的倍时，的最大值为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某班有学生40人，将这40人编上1到40的号码，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为3、23、33的学生在样本中，则另一个
3、学生在样本中的编号为（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 1515. 在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（ ）A. B. C. D. 16. 如果数列同时满足以下四个条件：（1）（）；（2）点在函数的图像上；（3）向量与互相平行；（4）与的等差中项为（）；那么，这样的数列，的个数为（ ）A. 78 B. 80 C. 82 D. 90三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥中，平面，是边长为2的正方形，为侧棱的中点.（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
4、18. 将关于的函数（）的图像向右平移2个单位后得到的函数图像记为，并设所对应的函数为.（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；（2）设，若函数（）对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.19. 某地区的平面规划图中（如图），三点、分别表示三个街区，现准备在线段上的点处建一个停车场，它到街区的距离为1，到街区、的距离相等.（1）若线段的长为3，求的值；（2）若的面积为，求点到直线的距离.20. 设平面直角坐标系中的动点到两定点、的距离之和为，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过上的点作圆的两条切线，切点为、，直线与、轴的交点依次为异于坐标原点的点、，试求的面积的最小值；（3）过点且不垂
5、直于坐标轴的直线交于不同的两点、，线段的垂直平分线与轴交于点，线段的中点为，是否存在（），使得成立？请说明理由.21. 若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（）倍，则称该数列具有性质.（1）已知数列，具有性质，求实数的取值范围；（2）删除数列，中的第3项，第6项，第项，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值；（3）记（），如果（），证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质，且同时满足以下三个条件：（）数列的各项均为正数，且互异；（）存在常数，使得数列收敛于；（）（，这里）”.答案1【答案】【解析】由抛物线的定义得的焦点到准线的距离为.2
6、【答案】【解析】由解得，故解集为.3【答案】【解析】由题意得应为同一方程，所以，所以.【注】也可使用行列式求解.4【答案】【解析】由题意得另一根为， 由韦达定理得5【答案】【解析】由题意得的图像经过点，所以，所以.6【答案】【解析】因为，所以，所以， 所以，又，所以.7【答案】【解析】由三视图可得直观图，在四棱锥中，最长的棱为即8【答案】【解析】， 故只由提供，的系数为.9【答案】【解析】为圆柱体的体积，为圆锥体的体积， ，所以10【答案】【解析】选择的4天恰好为连续4天的概率是.11【答案】【解析】因为函数的零点为，所以，又， 所以，所以，所以， 根据复合函数的单调性，易得在上单调递减，且，
7、 由得，所以， 故，又， 故，故整数的个数为.12【答案】【解析】法一：因为， 所以， 过点作于，过点作于， 因为的面积是面积的，所以，从而， 在的两边同时点乘， 得， 由向量数量积的几何意义（投影）得， 从而，即， 整理得， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 法二：在的反向延长线上取点，使得， 由平面几何知识得， 转化为， 由奔驰定理得，即， 从而，以下同法一.13【答案】A【解析】，故为充分非必要条件，选A.14【答案】B【解析】学生40人，现用系统抽样的方法，从中抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为10，故另一个学生在样本中的编号为1315【答案】D【解析】因为互为反函数，其交点在上， 又，所以，而，所以， 所以，故选D.16【答案】B【解析】由（1）得，由（2）得，由（3）得， 由（4）得，从而或， 从而，故， 考虑的变换， 每一步变换均为或，且和所加之和相等，若，则，则9步中只有1步为，且只能在2边，故有3种；若，则，则9步中有3步，6步，共有种；若，则，则9步中有5步，4步，共有种；若，则，则9步中有7步，2步，共有种，若，则，则9步都为，共有1种，综上，共有种，选B.17【答案】（1）；（2）.18【答案】（1）和；（2）.19【答案】（1）；（2）.20【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由略.21【答案】（1）；（2）；（3）证明略.
