1、2004年全国高考数学试题汇编立体几何(一)12004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第10题，文科数学第10题已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）ABCD22004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第16题，文科数学第16题已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是 .两条平行直线两条互相垂直的直线同一条直线一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.32004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)文科数学第6题正四棱锥的侧棱长与底面
2、边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）A75B60C45D3042004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第7题，文科数学第10题已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）ABCD 52004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第16题，文科数学第16题下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.6
3、2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第9题，文科数学第10题正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A B C D72004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第13题，文科数学第14题用平面截半径为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 . 82004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第3题正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，则此三棱柱的体积为（ ）AB CD 92004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第7题对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（ ）A如果、n是异面直线，那
4、么B如果、n是异面直线，那么相交C如果、n共面，那么D如果、n共面，那么102004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第11题已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2，则球心到平面ABC的距离为（ ）A1BCD2112004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第10题已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心到平面ABC的距离为（ ）A1BCD212（2004年北京高考理工第3题，文史第3题）设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若，则 若，则 若，则 若，则 其中正确命题的序号是A.
5、和 B. 和 C. 和 D. 和13（2004年北京高考理工第4题，文史第6题）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线14（2004年北京高考理工第11题，文史第12题）某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是_cm，表面积是_cm2 152004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第20题，文科数学第21题，满分12分 如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120.（I）求点P到
6、平面ABCD的距离；（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.162004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第20题，文科数学第20题，满分12分如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.（）求证CD平面BDM；（）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.172004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第20题，文科数学第21题，满分12分三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，（1）求证：AB BC；（2，理科）设AB=BC=，求AC与平面PBC
7、所成角的大小. PBAC(2，文科) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.182004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第20题，文科数学第21题，本小题满分12分如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60.（）求四棱锥PABCD的体积；（）证明PABD.19（2004年北京高考文史第16题，本小题满分14分） 如图，在正三棱柱中，AB2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求： （I）三棱柱的侧面展开图的对角线长 （II）该最短路线的长及的值 （III）平面与平面A
8、BC所成二面角（锐角）的大小 20（2004年北京高考理工第16题，本小题满分14分） 如图，在正三棱柱中，AB3，M为的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，求： （I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长 （II）PC和NC的长 （III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）参考答案1A 2 3C 4B 5 6C 7 8A 9C 10A 11A 12A 13D 14 152004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第20题，文科数学第21题本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想
9、象能力和推理、运算能力.满分12分. （I）解：如图，作PO平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE. ADPB，ADOB，PA=PD，OA=OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PEAD.由此知PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，PEB=120，PEO=60由已知可求得PE=PO=PEsin60=，即点P到平面ABCD的距离为.（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.连结AG.又知由此得到：所以等于所求二面角的平面角，于是所以所求二面角的大小为 .解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、
10、GF，则AGPB，FG/BC，FG=BC.ADPB，BCPB，FGPB，AGF是所求二面角的平面角.AD面POB，ADEG.又PE=BE，EGPB，且PEG=60.在RtPEG中，EG=PEcos60=.在RtPEG中，EG=AD=1.于是tanGAE=,又AGF=GAE.所以所求二面角的大小为arctan.162004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第20题，文科数学第20题本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=CB=CA1=，CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，
11、CDA1B. A1C1=1，C1B1=，A1B1= 又BB1=1，A1B=2. A1CB为直角三角形，D为A1B的中点， CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M. CDMCC1M，CDM=CC1M=90，即CDDM. 因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM.（）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG/CD，FG=CD. FG=，FGBD. 由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1， 所以BB1D是边长为1的正三角形. 于是B1GBD，B1G= B1GF是所求二面角的平面角， 又 B1F2=B1B
12、2+BF2=1+（=， 即所求二面角的大小为解法二：如图，以C为原点建立坐标系.（）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），D（，M（，1，0），则 CDA1B，CDDM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM.（）设BD中点为G，连结B1G，则 G（），、），所以所求的二面角等于172004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第20题，文科数学第21题本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分. （）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD. 因为PA=PC，所以PDAC，又已知面P
13、AC面ABC，所以PD面ABC，D为垂足. 因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，可知AC为ABC的外接圆直径，因此ABBC.（，理科）解：如图2，作CFPB于F，连结AF、DF.因为PBCPBA，所以AFPB，AF=CF.因此，PB平面AFC，所以面AFC面PBC，交线是CF，因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，ACF为AC与平面PBC所成的角.在RtABC中，AB=BC=2，所以BD=在RtPDC中，DC=在RtPDB中，在RtFDC中， 所以ACF=30.即AC与平面PBC所成角为30.（2，文科）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BDAC. 又面PAC面ABC， 所以
14、BD平面PAC，D为垂足. 作BEPC于E，连结DE， 因为DE为BE在平面PAC内的射影， 所以DEPC，BED为所求二面角的平面角. 在RtABC中，AB=BC=，所以BD=. 在RtPDC中，PC=3，DC=，PD=， 所以 因此，在RtBDE中， ， 所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60.182004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第20题，文科数学第21题本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PEAD.作PO平面在ABCD，垂足为O，连结OE.根据三垂线定理的逆
15、定理得OEAD，所以PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知PEO=60，PE=6，所以PO=3，四棱锥PABCD的体积VPABCD=（）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P（0，0，3），A（2，3，0），B（2，5，0），D（2，3，0）所以因为 所以PABD.解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得所以 RtAEORtBAD. 得EAO=ABD. 所以EAO+ADF=90 所以 AFBD. 因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PABD. 19（2004年北京高考
16、文史第16题，本小题满分14分）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。 解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形 其对角线长为 （II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为 ， 故 （III）连接DB，则DB就是平面与平面ABC的交线 在中 又 由三垂线定理得 就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角） 侧面是正方形 故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为 20（2004年北京高考理工第16题） 本小题主要考查
17、直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。 解：（I）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 （II）如图1，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，点P运动到点的位置，连接，则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线 设，则，在中，由勾股定理得 求得 （III）如图2，连结，则就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，又平面ABC，连结CH，由三垂线定理得， 就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角） 在中， 在中， 故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为 待续试题整理者：陈斌（大连） E-mail：cqsbcqsb