1、专题升级训练27解答题专项训练(立体几何)1下图是一个几何体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧(左)视图为直角三角形，尺寸如图所示)(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若G为BC的中点，求证：AEPG.2有一根长为3 cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？3如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE平面CBB1.(1)证明：DE平面ABC；(2)求四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比4如图所示，平面AB
2、CD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=2，G是EF的中点(1)求证：平面AGC平面BGC；(2)求三棱锥AGBC的体积5已知正四面体ABCD(图1)，沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)(1)证明：ABCD；(2)当A1D10，A1A28时，求四面体ABCD的体积6如图，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点(1)求证：PA平面CDM；(2)求证：SN平面CDM.7如图，在三棱柱
3、ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC=90，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点(1)求证：MN平面BCC1B1；(2)求证：MN平面A1B1C；(3)求三棱锥MA1B1C的体积8一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点(1)求证：CM平面FDM；(2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明参考答案1解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA面ABCD，PAEB，且PA4，BE2，ABADCDCB4，所以VPABCDPAS正方形ABCD444.(2)证明：连接BP.因为，EBABAP
4、90，所以EBABAP，所以PBAAEB，所以PBABAEBEABAE90，所以PBAE.由题易证BC平面APEB，所以BCAE.又因为PBBCB，所以AE平面PBC，因为PG平面PBC，所以AEPG.2解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度AC5(cm)，故铁丝的最短长度为5 cm.3(1)证明：连接EO，OA.E，O分别为B1C，BC的中点，EOBB1.又DABB1，且DA=EO=BB1.四边形AOED是平行四边形，即DEOA.又DE平面ABC，AO平面A
5、BC，DE平面ABC.(2)解：由题意知DE平面CBB1，且由(1)知DEOA，AO平面CBB1，AOBC，AC=AB.因BC是底面圆O的直径，得CAAB.而AA1CA，AA1AB=A，CA平面AA1B1B，即CA为四棱锥的高设圆柱高为h，底面半径为r，则V柱=r2h，V锥=h(r)(r)=hr2，V锥V柱=.4(1)证明：G是矩形ABEF的边EF的中点，AGBG2，从而得：AG2BG2AB2，AGBG.又平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，且BCAB，BC平面ABEF.AG平面ABEF，BCAG.BCBGB，AG平面BGC，AG平面AGC，平面AGC平面BGC.(2)解：
6、由(1)得：BC平面ABEF，CB是三棱锥AGBC的高，而SABG224，VAGBCVCABG44.5(1)证明：在四面体ABCD中，AB平面ACDABCD.(2)解：在题图2中作DEA2A3于E.A1A2=8，DE=8.又A1D=A3D=10，EA3=6，A2A3=10+6=16.又A2C=A3C，A2C=8.即图1中AC=8，AD=10，由A1A28，A1BA2B得题图1中AB4.SACDDEA3C8832.又AB面ACD，VBACD324.6证明：(1)在三棱锥PABC中，因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MDPA.因为MD平面CMD，PA平面CMD，所以PA平面CMD.(2)因为M
7、，D分别为PB，AB的中点，所以MDPA.因为PA平面ABC，所以MD平面ABC，又SN平面ABC，所以MDSN.在ABC中，连接DS，因为D，S分别为AB，BC的中点，所以DSAC且DSAC.又ABAC，所以ADSBAC90.因为ACAB，所以ACAD，所以ADC45，因此CDS45.又AB4AN，所以DNADAC，即DNDS，故SNCD.又MDCDD，所以SN平面CMD.7(1)证明：连接BC1，AC1.由题知点N在AC1上且为AC1的中点M是AB的中点，MNBC1.又MN平面BCC1B1，MN平面BCC1B1.(2)证明：三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，四边形BCC1B1是正
8、方形，BC1B1C，MNB1C.连接A1M，由ABC=MAA1=90，BM=AM，BC=AA1得AMA1BMC.A1M=CM.又N是A1C的中点，MNA1C.B1C与A1C相交于点C，MN平面A1B1C.(3)解：由(2)知MN是三棱锥MA1B1C的高在直角MNC中，.又，=MN=.8证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF，DF=AD=a.(1)FD平面ABCD，CM平面ABCD，FDCM.在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M为AB中点，DM=CM=a，CMDM.FD平面FDM，DM平面FDM，FDDM=D，CM平面FDM.(2)点P在A点处证明：取DC中点S，连接AS，GS，GA，G是DF的中点，GSFC.又ASCM，ASAG=A，平面GSA平面FMC.而GA平面GSA，GP平面FMC.- 6 -
