1、专题22 数列的概念与表示法1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数热点题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式例1、【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则a4 = _.【答案】【变式探究】根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5 555，。解析：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1
2、)n(6n5)。(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积。知所求数列的一个通项公式为an。(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察。即，从而可得数列的一个通项公式为an。(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)。【提分秘籍】用观察法求数列的通项公式的方法(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体再局部再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列(1)n或
3、(1)n1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。 【举一反三】 下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1 BanCan2 Dan解析：由an2可得a11，a22，a31，a42，。答案：C热点题型二 由an与Sn的关系求通项an 例2、已知数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an。(1)Sn2n23n。(2)Sn3n1。(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n
4、1。当n1时，23112a1，所以an【提分秘籍】 已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1。(2)用n1替换Sn中n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式。(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写。【举一反三】 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_。热点题型三 由递推关系式求通项公式例3根据下列条件，确定数列an的通项公式。(1)a11，an13an2；(2)a11，anan1(n2)；(3)已知数列an满足an1an3n2，且a1
5、2，求an。解析：(1)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11。(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1。以上(n1)个式子相乘得ana1。(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)。当n1时，a1(311)2符合公式，ann2。【提分秘籍】由递推关系式求通项公式的类型与方法已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累
6、加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解。【举一反三】 (1)在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n(2)若数列an满足a11，an12nan，则数列an的通项公式an_。(2)由于2n，故21，22，2n1，将这n1个等式叠乘得212(n1)2，故an2。答案：(1) A (2) 2。热点题型四 数列的性质及其应用 例4、 (1)已知an，那么数列an是()A递减数列 B递增数列C常数列 D摆动数列(2) 数列an满足an1a1，则数列的第2 015项为_。答案：(1)B (2) 【提分秘籍】1解决数列的单调性问题
7、可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列。(2)用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断。(3)结合相应函数的图象直观判断。2解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。【举一反三】 设数列an满足：a12，an11，记数列an的前n项之积为Tr，则T2 014的值为()A B1 C. D2解析：由a2，a31，a42可知，数列an是周期为3的周期数列，从而T2 014T2 013a1(1)67122。答案：D 1.【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 =
8、 1, a1 a3 = 3，则a4 = _.【答案】【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由 可得： ，代入可得，由等比数列的通项公式可得： .1（2014江西卷）已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.2（2014新课标全国卷 已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an.(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【解析】(1)证明：由题设，anan1Sn1，a
9、n1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1.因为an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得 a21，由(1)知，a31.若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列3（2014新课标全国卷 已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.4（2014重庆卷）设a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列
10、an的通项公式(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论【解析】(1)方法一：a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)方法二：a22，a31.可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式当n1时，结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111，这就是说，当nk1时结论成立所以an1(nN*)方法二：设f(x)1，则an1f(an)先证：0an1(nN*)当n1时，结论明显成立假设nk时结论成立，即0ak1.易知f(
11、x)在(，1上为减函数，从而0f(1)f(ak)f(0)11.即0ak11.这就是说，当nk1时结论成立故成立再证：a2na2n1(nN*)当n1时，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，所以a2a3，即n1时成立假设nk时，结论成立，即a2k0)，因为所有AnBn相互平行且a11，a22，所以S梯形A1B1B2A23m，当n2时，故aa，aa，aa，aa以上各式累乘可得a(3n2)a，因为a11，所以an.6（2013辽宁卷）下面是关于公差d0的等差数列的四个命题：p1：数列是递增数列；p2：数列是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3
12、，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【答案】D【解析】因为数列an中d0，所以an是递增数列，则p1为真命题而数列an3nd也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.7（2013全国卷）等差数列an前n项和为Sn.已知S3a，且S1，S2，S4成等比数列，求an的通项公式1数列1，的一个通项公式是()Aan(1)n1(nN*)Ban(1)n1(nN*)Can(1)n1(nN*)Dan(1)n1(nN*)解析：观察数列an各项，可写成：，故选D。答案：D2已知数列的通项公式为ann28n15，则3()A不是数列an中的项B只是数列an中的第2项C只是数列an中的第6项D是数列an中的第2项和第6项解
13、析：令an3，即n28n153，整理得n28n120，解得n2或n6。答案：D3已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是()A2n1 B.n1Cn2 Dn答案：D4已知数列an的前n项和Snn22n，则a2a18()A36 B35C34 D33解析：当n2时，anSnSn12n3，故a2a1834。答案：C5已知数列an，an2n2n，若该数列是递减数列，则实数的取值范围是()A(，6) B(，4C(，5) D(，3解析：数列an的通项公式是关于n(nN*)的二次函数，若数列是递减数列，则1，即4。答案：B6已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为()A
14、. B.C10 D21当x时，f(x)0，即f(x)在区间(0，)上递减；在区间(，)上递增，又56，且f(5)51，f(6)61，所以f(5)f(6)，所以当n6时，有最小值。答案：B7数列an满足an1，a82，则a1_。解析：将a82代入an1，可求得a7；再将a7代入an1，可求得a61；再将a61代入an1，可求得a52；由此可以推出数列an是一个周期数列，且周期为3，所以a1a7。答案：8已知数列an满足a1，an1an(n2)，则该数列的通项公式an_。答案：9如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n2)行的第2个数为_。13356571111791822189解析：由题意可知：
15、图中每行的第二个数分别为3,6,11,18，即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：ana2357(2n3)，ann22n3。答案：n22n310设数列an满足a13a232a33n1an，求数列an的通项公式。解析：因为a13a232a33n1an则当n2时，a13a232a33n2an1得3n1an，所以an(n2)。由题意知a1，符合上式，所以an(nN*)。11数列an的通项公式是ann2kn4。(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值。(2)对于nN*，都有an1an，求实数k的取值范围。12设函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足f(2an)2n(nN*)。(1)求数列an的通项公式。(2)证明：数列an是单调递增数列。解析：(1)由f(2an)2n(nN*)，得log22an2n，即an2n，即a2nan10，故ann。由0x1，知02an1，即anan。可知an1an(nN*)，故此数列为递增数列。方法二：由1，且anan。16
