1、双基限时练(十五)1方程y2所表示曲线的形状是()解析由y2，知y0，x0，因此选D.答案D2过点M(3,2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点，这样的直线共有()A0条 B1条C2条 D3条解析因为点M(3,2)在抛物线y28x的内部，所以过点M平行x轴的直线y2，适合题意，因此只有一条答案B3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1x26，则|AB|()A8 B10C6 D4解析由题意知，|AB|x1x2p628.答案A4抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4，2) B(4，2)C(2,4) D(2，4)解析抛物线y216x
2、的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)适合题意，则有适合题意的点为(2，4)答案D5过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则的值是()A12 B12C3 D3解析特例法，y24x的焦点F(1,0)，设过焦点F的直线为x1，可求得A(1，2)，B(1,2)11(2)23.答案D6过抛物线y24x的焦点F，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，则|AB|的长为_解析由y24x知F(1,0)，可得直线AB的方程为y(x1)，与y24x联立，可求得A，B(3,2)|AB|.答案7抛物线y22px(p0)上有一点纵坐标为4，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为
3、_解析设点(x0，4)，则(4)22px0，x0.又由抛物线的定义知x06，6，即p212p320，解得p4，或p8.抛物线方程为y28x，或y216x.答案y28x，或y216x8若抛物线y2mx与椭圆1有一个共同的焦点，则m_.解析由1得焦点(2,0)，(2,0)当焦点为(2,0)时，抛物线开口向左，m0.m8；当焦点为(2,0)时，抛物线开口向右，m0.m8.答案8或89已知直线l过点A(，p)，且与抛物线y22px只有一个公共点，求直线l的方程解当直线与抛物线只有一个公共点时，设直线方程为：ypk(x)将直线l的方程与y22px联立，消去x得ky22py(23k)p20由0得，k，或k
4、1.直线l的方程为2x6y9p0，或2x2yp0.当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，yp，故满足条件的直线共有三条，其方程为：2x6y9p0，或2x2yp0，或yp.10线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A，B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线，求抛物线的方程解画图知，抛物线方程为y22px(p0)，直线AB的方程为xaym.由消去x，并整理得y22apy2mp0.由根与系数的关系得y1y22mp.由已知得|y1|y2|2m，则p1.故抛物线的方程为y22x.11已知抛物线y22x，(1)设点A的坐标为(，0)，在抛物线上求一点P
5、，使|PA|最小；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解(1)设P(x，y)，则|PA|2(x)2y2(x)22x(x)2.x0且在此区间上函数单调递增，故当x0时，|PA|有最小值，离A点最近的点P(0,0)(2)设点P(x0，y0)是抛物线y22x上任一点，则P到直线xy30的距离为d，当y01，d有最小值.点P的坐标为(，1)12已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解(1)证明：如图所示，由消去x，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y21.A，B在抛物线上，yx1，yx2，yyx1x2.又kOAkOB1，OAOB.(2)设直线与x轴交于N，显然k0，令y0，得x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|.而|y1y2| .又SOAB，1 .解得k.