1、12015山西质监已知函数 f(x)xln x.(1)试求曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程；(2)若 x1，试判断方程 f(x)(x1)(axa1)的解的个数解(1)f(x)ln xx1x1ln x，f(e)2，又 f(e)e，切线方程为 2xye0.(2)方 程 f(x)(x 1)(ax a 1)的 解 即 为 方 程 ln x x1axa1x0 的解设 h(x)ln xx1axa1x，x1.则 h(x)ax2xa1x2x1axa1x2，x1.当 a0 时，h(x)0，h(x)为增函数，h(x)h(1)0，方程无解当 a0 时，令 h(x)0 得 x11，x21aa.当 a0，
2、即 x21aa 1，h(x)0，则 h(x)为(1，)上的增函数，h(x)h(1)0，方程无解当 0a1 时，x1，1aa时，h(x)0，h(x)为增函数；x1aa，时，h(x)0，h(x)为减函数又 x时，h(x)ln xax1ax 2a11，h(x)0，h(x)为减函数，而 h(x)h(1)0，方程无解综上所述，当 a(，012，时，原方程无解；当 0a12时，原方程有一个解22015郑州质量预测已知函数 f(x)ax1ln x，其中 a 为常数(1)当 a，1e 时，若 f(x)在区间(0，e)上的最大值为4，求 a 的值；(2)当 a1e时，若函数 g(x)|f(x)|ln xx b2
3、存在零点，求实数 b的取值范围解(1)f(x)a1x，令 f(x)0 得 x1a，因为 a，1e，所以 01a0 得 0 x1a，由 f(x)0 得1ax0，当 a1e时，f(x)xe1ln x，所以 f(x)1e1xxeex，当 0 x0；当 xe 时，f(x)0，所以，f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，)，所以 f(x)maxf(e)1，所以|f(x)|1.令 h(x)ln xx b2，则 h(x)1ln xx2.当 0 x0；当 xe 时，h(x)0，从而 h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以 h(x)maxh(e)1eb2，要使方程|f(x)|ln xx
4、 b2有实数根，只需 h(x)max1 即可，故 b22e.32015石家庄质检(二)已知 f(x)xln x12mx2x，mR.(1)当 m2 时，求函数 f(x)的所有零点；(2)若 f(x)有两个极值点 x1，x2，且 x1e2(e 为自然对数的底数)解(1)当 m2 时，f(x)xln xx2xx(ln xx1)，x0.设 g(x)ln xx1，x0，则 g(x)1x10，于是 g(x)在(0，)上为增函数又 g(1)0，所以，g(x)有唯一零点 x1.从而，函数 f(x)有唯一零点 x1.(2)证明：欲证 x1x2e2，需证 ln x1ln x22若 f(x)有两个极值点 x1，x2
5、，即函数 f(x)有两个零点又 f(x)ln xmx，所以，x1，x2 是方程 f(x)0 的两个不同实根于是，有ln x1mx10ln x2mx20.解之得 mln x1ln x2x1x2.另一方面，由ln x1mx10ln x2mx20 得 ln x2ln x1m(x2x1)，从而可得ln x2ln x1x2x1ln x1ln x2x1x2于是，ln x1ln x2ln x2ln x1x2x1x2x11x2x1 ln x2x1x2x11.又 0 x11.因此，ln x1ln x21tln tt1，t1.要证 ln x1ln x22，即证：t1ln tt12，t1.即当 t1 时，有 ln
6、t2t1t1.设函数 h(t)ln t2t1t1，t1.则 h(t)1t2t12t1t12t12tt120，所以，h(t)为(1，)上的增函数注意到，h(1)0.因此，h(t)h(1)0.于是，当 t1 时，有 ln t2t1t1.所以，有 ln x1ln x22 成立，即 x1x2e2.42015甘肃一诊已知函数 f(x)ax2ln(x1)(1)当 a14时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 x0，)时，函数 yf(x)的图象上的点都在x0yx0 所表示的平面区域内，求实数 a 的取值范围解(1)当 a14时，f(x)14x2ln(x1)(x1)，f(x)12x 1x1x2x12x1(x
7、1)，由 f(x)0 解得1x1，由 f(x)1.函数 f(x)的单调递增区间为(1,1)，单调递减区间为(1，)(2)当 x0，)时，函数 yf(x)的图象上的点都在x0yx0 所表示的平面区域内，即当 x0，)时，不等式 f(x)x 恒成立，即 ax2ln(x1)x 恒成立，设 g(x)ax2ln(x1)x(x0)，只需 g(x)max0 即可由 g(x)2ax 1x11x2ax2a1x1，当 a0 时，g(x)xx1，当 x0 时，g(x)0 时，由 g(x)x2ax2a1x10，因 x0，)，x 12a1.()若 12a112时，在区间(0，)上，g(x)0，函数g(x)在(0，)上单
8、调递增，函数 g(x)在0，)上无最大值，此时不满足()若 12a10，即 0a12时，函数 g(x)在0，12a1 上单调递减，在区间12a1，上单调递增，同样函数 g(x)在0，)上无最大值，此时也不满足当 a0 时，由 g(x)x2ax2a1x1，x0，)，2ax(2a1)0，g(x)0，故函数 g(x)在0，)上单调递减g(x)g(0)0 成立综上所述，实数 a 的取值范围是(，05已知函数 f(x)(2a2)ln x2ax25(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 a0，故 f(x)在(0，)单调递增；当 a1时，f(x)0，故 f(x)在(0，)单调递减；当1a0；xa12a，
9、时，f(x)0；故 f(x)在0，a12a单调递增，在a12a，单调递减；(2)解法一：不妨设 x1x2，而 a1，由(1)知 f(x)在(0，)单调递减，从而对任意 x1、x2(0，)，恒有fx1fx2x1x28|f(x1)f(x2)|8|x1x2|f(x1)f(x2)8(x2x1)f(x1)8x1f(x2)8x2令 g(x)f(x)8x，则 g(x)2a2x4ax8原不等式等价于 g(x)在(0，)单调递减，即a1x 2ax40，从而 a4x12x21 2x124x222x212x122x21 2，故 a 的取值范围为(，2解法二：a4x12x21min，设(x)4x12x21，则(x)4
10、2x214x14x2x212 8x24x42x21242x1x12x212，当 x0，12 时，(x)0，(x)为增函数(x)min12 2，a 的取值范围为(，262015衡水中学一调已知 f(x)xln x，g(x)ax22，直线 l：y(k3)xk2.(1)函数 f(x)在 xe 处的切线与直线 l 平行，求实数 k 的值；(2)若至少存在一个 x01，e使 f(x0)1 时 f(x)的图象恒在直线 l 的上方，求 k 的最大值解(1)f(x)1ln x，f(e)1ln ek3，k5，(2)由于存在 x01，e，使 f(x0)x0ln x0，a2ln x0 x0，设 h(x)2ln xx
11、，则 h(x)21ln xx2，当 x1，e时，h(x)0(仅当 xe 时取等号)h(x)在1，e上单调递增，h(x)minh(1)0，因此 a0.(3)由 题 意 xln x(k 3)x k 2 在 x1 时 恒 成 立，即k0 在 x1 时恒成立，所以 m(x)在(1，)上单调递增，且 m(3)1ln 30，所以在(1，)上存在唯一实数 x0(x0(3,4)使 m(x)0当 1xx0 时 m(x)0 即 F(x)x0 时 m(x)0 即 F(x)0，所以 F(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，F(x)minF(x0)x0ln x03x02x01x0 x023x02x01x02(5,6)，故 kx02，又 kZ，所以 k 的最大值为 5.
