1、43 反正切函数和反余切函数 一、素质教育目标(一)知识教学点1反正切、反余切函数的定义，图象和性质2反正切、反余切函数的运算(二)能力训练点1理解反正切、反余切函数的定义，会根据图象得到它们的性质，进一步提高学生数形结合的能力2掌握反正切、反余切的三角运算以及正、余切函数的反正切、反余切运算，不断提高学生综合运用知识的能力(三)德育渗透点通过反正切、反余切函数的学习，学生不难发现它们与反正弦、反余弦函数虽然不同，但研究的手法却完全相同并且某些性质很相似，为此教学过程要注意引导学生透过现象看本质，使学生懂得抓住事物的本质特征才能把握事物的发展趋势，不断提高学生认识能力，自觉接受辩证唯物主义认识
2、论的观点二、教学重点、难点、疑点及解决办法1教学重点：反正切、反余切函数的定义、图象及性质2教学难点：反正切、反余切函数定义3教学疑点：反正切、反余切函数与反正弦、反余弦有许多相类似的地方，但不相同，教学过程要注意引导学生加以区别三、课时安排建议2个课时四、教与学过程设计 第一课时 (一)复习引入师：前面我们学过反正弦函数及反余弦函数，大家知道为了使两个函数能得以建立，我们采取了控制自变量范围的办法使函数变为1对1家根据正、余切函数的特征，想一想应该分别控制x在哪些范围内进行研究较好？师：注意两个区间均为开区间，与反正弦和反余弦时不同(二)新课师：下面请同学们思考怎样给出反正切和反余切函数的定
3、义(学生叙述，教师板书)记作y=arctgx余切函数y=ctgx(x(0，)的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgx师：请同学们考虑反正切、反余切函数的定义域和值域是什么？余切函数的定义域是(-，+)，值域是(0，)师：我们依然要从三个方面来理解反正切、反余切的定义，对于xarcctgx(0，)3对应于它们的正切值和余切值分别都是x根据反正切、反余切函数的定义，即它们意义中的3我们可得两个基本关系式：tg(arctgx)=x，x(-，+)ctg(arcctgx)=x，x(-，+)例1 求下列各式的值：师：请同学们根据反正切、反余切的意义来完成(请一位同学口答)例2 求下列各式的值：师：根
4、据该例题的解答，请同学们思考以下两个式子成立的条件是什么？arctg(tgx)=x，arcctg(ctgx)=x练习：求arctg(请一位同学板演) arctg=arctg=-2例3 求函数y=ctgx，x(-，0)的反函数解： -x0， 0+x又 ctg(+x)=ctgx=y， +x=arcctgy即 x=-+arcctgy 原函数的反函数为：y=-+arcctgx xR师：本题采用转化的手段将不在反余切函数值域范围内的角转化为其内的角，使问题得以解决，大家要善于使用这种方法师：本题是证角相等的问题，前面我们已经接触过，请同学们回忆这类问题如何解决？生：1 证两个角的某三角函数值相等2 证两
5、个角同属于某三角函数的同一个单调区间3 根据三角函数的单调性断定它们相等师：本题的两个未知角切在等号的一边，该如何处理？师：根据所出现的反三角函数应选取哪种三角函数证明？生：正切或余切师：请同学们根据刚才的讨论自己完成证明(教师巡视，注意个别辅导)(三)练习P283中练习1、3、4、5(四)总结1反正切、反余切的定义及含义(略)2基本关系式：1 tg(arctgx)=x，xR；ctg(arcctgx)=x，xR五、作业课本P285-286习题十九9、10、12六、板书设计 第二课时 一、教与学过程设计(一)复习师：前面我们已经学习了反正弦、反余弦，反正切、反余切函数的定义，我们把这四个函数统称
6、为反三角函数若用y=arcx表示这些函数，请同学们说出它们的含义生：1 arcx表示一个角，2 这个角属于它的值域，3 这个角的同一名称的三角函数值等于x师：我们知道反三角函数中每一个函数都有两个基本关系式，试按上面的约定把它们表示出来生：1(arcx)=x， x属于相应反函数的定义域2arc(x)=x， x属于相应反函数的值域(以上表述教师要加以指点)(二)引入师：今天我们要继续学习反正切、反余切函数的图象和性质，我们仍然从两个函数原函数的图象出发，利用互为反函数的函数图象之间的关系进行(三)新课师：请同学们打开课本看P281图4-6，4-7记住反正切、反余切函数图象的位置和形状(让学生观察
7、一会儿后，请一位同学来画草图，教师注意纠正)生：师：要想画准它们的图象(图4-5，图4-6)，虚线一定要画，它们叫做渐近线下面我们根据图象易得它们的单调性(学生叙述，教师板书)(1)反正切函数y=arctgx在区间(-，+)上是增函数；反余切函数y=arctgx在区间(-，+)上是减函数师：请同学们就反正切函数的图象判断它的奇偶性(学生回答，教师板书)(2)反正切函数y=arctgx是奇函数，即arctg(-x)=-arctgx师：从反余切函数的图象看，它既不是奇函数也不是偶函数，但它有以下性质(3)arcctg(-x)=-arcctgx，x(-，+)它的证明与反余弦函数性质2的证明相似，请同
8、学们课后自己完成(表格事先画在软黑板上挂出)(四)应用举例1 求函数y=|arctgx|的单调区间解：函数的定义域为x(-，+)函数y=|arctgx|的图象(草图)如图4-7所示：可得：函数的单调减区间是函数的单调增区间是例2 求函数y=-ctgx，x(0，)的反函数解： x(0，)，且ctgx=-y x=arcctg(-y)=-arcctgy故原函数的反函数为：y=-arcctgx x(-，+)例3 求适合不等式(arctgx)2-3arctgx+20的x的取值范围解：由不等式(arctgx)2-3arctgx+20可得：arctgx1或arctgx2根据反正切函数的单调性可得xtg1师：以上三道例题的解答，均应用了反正切、反余切函数的性质或图象来解题所以希望大家能熟记反函数的图象及性质但是从上面总结的表格来看，内容不少，而且相似的地方很多，易混，因此死记硬背是行不通的跟以往一样，我们只要记住图象，然后根据图象自己便可推出性质来(五)练习P283中练习2(六)总结与学生一起阅读表格中的内容二、作业课本P286中习题十九11、13三、板书设计