1、专题限时训练(十六)圆锥曲线的概念与性质(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2015陕西卷)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案：B解析：抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)2设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B. C. D.答案：D解析：因为PF2F1F2，PF1F230，所以|PF2|2ctan 30c，|PF1
2、|c.又|PF1|PF2|c2a，则e.3从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ()A. B. C. D.答案：C解析：根据题意可知点P(c，y0)，代入椭圆的方程可得yb2，根据ABOP，可知，即，解得y0，即b2，解得e.故选C.4(2015浙江模拟)椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且12的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A. B.C. D.答案：B解析：设P(x，y)，F1(c,0)，
3、F2(c,0)，则1(cx，y)，2(cx，y)，12x2y2c2.又x2y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以(12)maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.故选B.5(2015四川卷)设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4)答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则y4x1，y4x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，即.当直线l的斜率
4、存在时，可得斜率k，设圆心为点C，则点C坐标为(5,0)，于是kCM. CMl， kCMk1， 1，解得x03.故切点M的坐标为(3，y0)若切点M不在x轴上，需r532，此时有两条切线当直线l的斜率不存在时，切点M为圆与x轴的交点，符合题意 当r2时，有4条直线符合题意又当抛物线与圆相切时，联立方程组消去y得x26x25r20，令0，解得r4，此时x3.故圆与抛物线相切时，只有两条直线符合题意，故r4. r(2,4)二、填空题(每小题5分，共15分)6(2015山东卷)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心
5、为C2的焦点，则C1的离心率为_答案：解析：双曲线的两条渐近线方程为yx，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BFOA，即kBFkOA1，又kBF，kOA，所以有1，即，故C1的离心率e .7抛物线y22px(p0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A，B，若四边形AABB的面积为48，则抛物线的方程为_答案：y22x解析：过A作ACBB于点C，因为直线的倾斜角为30，所以ACAB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y，与抛物线方程联立消元得：x27px0，所以x1x27p，所以AB
6、8p，所以S四边形AABB(AABB)AC8p4p48，所以p.所以抛物线方程为y22x.8(2015甘肃兰州诊断)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x28y的焦点，则椭圆C的标准方程为_答案：1解析：抛物线焦点(0,2)，即b2，e，a2c，又a2b2c2，故a4，c2，椭圆方程为1.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|
7、，求E的方程解：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，因为2|AB|AF2|BF2|，所以|AB|a.l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|.故a，得a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.10.(2015淄博模拟)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点，右焦点为F2.设A，B
8、是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解：(1)因为焦距为2，所以a2b21.因为椭圆C过点，所以1，故a22，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x，此时P(，0)，Q(，0)，得1.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k0)，M(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(x1x2)2(y1y2)0，则14mk0，故4mk1.此时，直线PQ的斜率为k14m，直线PQ的方程为ym4m，即y4mxm.联立消去y，整理得(32m21)x216m
9、2x2m220.设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，所以x3x4，x3x4.于是(x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m)(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m211m2.由于M在椭圆的内部，故0m2，令t32m21,1t29，则.又1t29，所以1b0)的一个焦点，C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解：(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0,1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为
10、2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4.将代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.