1、云南省水富市云天化中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1. 已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. D分析：先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用并集的运算求解.解答：因为集合，所以，故选：D2. 已知某算法流程图如图所示，若输入的有序数对为，则输出的有序数对为（ ）A. B. C. D. B分析：按流程图逐次计算可得正确的选项.解答：执行第一次循环后，；执行第二次循环后， 执行第三次循环后，；执行第四次循环后，此时终止循环，故输出.故选：B.点拨：本题考查算法中的循环结构与选择结构，此类问题，按流程图依次计算即可，本题属于容
2、易题.3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 既不充分也不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件D分析：求出不等式解集再利用集合包含关系得解解答：是的真子集所以“”是“”的充分不必要条件故选：D点拨：解出绝对值不等式的解集是关键.4. 如图是一个空间几何体的三视图（单位：），这个几何体的体积是（ ）A. B. C. D. D分析：由三视图可知，该几何体是由圆柱中挖去一个圆锥构成的，由圆柱的体积减去圆锥的体积即可.解答：由三视图可知，该几何体是由圆柱中挖去一个圆锥构成的.则这个几何体的体积为故选：D5. 直线是圆的一条对称轴，则（ ）A. B. 1C. D. 3B分析：由圆
3、的方程求得圆心坐标，再把圆心坐标代入直线方程，即可求得a值解答：由，得，则圆心坐标为，又直线是圆的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心在直线上，则，故选：B6. 若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 17B. 13C. 5D. 1A分析：先作出不等式组所表示的可行域，再利用直线平移即可求解.解答：解：作出可行域如下图：，即 ，易知为直线在轴上的截距，画出直线，并进行平移， 即当直线经过点时，取得最大值，联立 ，解得：，故.故选：A.7. 已知函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称中心为（ ）A. B. C. D. A分析：根据三角函数的图象平移关系求出函数的解析式，结
4、合函数的对称性进行求解即可解答：将函数的图象向右平移个单位长度，得，由2xk，得x，kZ，即对称中心为（，0），kZ，故选：A点拨：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基础题8. 一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )A. B. C. D. A分析：求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案解答：满足条件的正如下图所示：其中正的面积为，满足到正的顶点、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分区域的面积为
5、.则使取到的点到三个顶点、的距离都大于的概率是.故选：A.点拨：本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题9. 直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. A分析：根据题意，可将直三棱柱补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积.解答：解：如图所示，直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，可将直三棱柱补成长方体，其中，长方体的对角线，即为球的直径，则球的半径为.球的表面积为.故选: A.点拨：本题考查球的表面积，考查分析问题能力，属于中档题.10. 已知和直线，抛物线上动点P到l的距离为d，则
6、的最小值是（ ）A. 6B. C. D. C分析：先求出抛物线的准线方程为直线，再根据抛物线的基本性质可得当焦点、P点、A点共线时距离最小，从而得到答案.解答：抛物线准线为，P到其距离为，则，所以，故选：C.点拨：本题主要考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法，属于中档题.11. 设函数的最大值为，最小值为，则的值是（ ）A. 0B. 1C. D. B分析：将函数化简，利用奇函数的对称性，可得选项.解答：，设，因为，所以为奇函数，所以，则，所以，故选：B点拨：本题考查函数的奇偶性，一般像这种较为复杂函数求最大值与最小值和相关问题，常会考虑函数本身或者能否构建成奇偶函数相关问题，属于中
7、档题.12. 如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）A. B. C. D. C分析：分别取的中点,可得平面平面，从而点的轨迹为线段，然后计算出线段的范围.解答：分别取的中点,则,平面，平面，则平面.,平面，平面，则平面又,所以平面平面又平面面所以点的轨迹为线段当为线段的端点（或）时，最长，此时当为线段的中点时，最短，此时所以，故选：C点拨：本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.二、填空题（共4小题）.13. 已知向量与，若，则实数的值为_分析：首先算出的坐标，然后由建立
8、方程求解即可.解答：因为，所以因为，所以，解得故答案：14. 在中，内角、的对边分别为，若，且，则三角形的面积为_分析：根据正弦定理，由，可以得出，的关系，再由余弦定理可以求出，也就可以求出再由同角三角函数的关系可以求出的大小，最后利用公式求出三角形的面积解答：由正弦定理可知：，已知，由余弦定理可知：，又因为 所以，.点拨：本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式以及同角三角函数关系15. 已知等比数列的前项和，则实数_.分析：根据题意，由等比数列的前项和求出数列的前三项，由等比中项的性质可得，解可得的值，即可得答案.解答：根据题意，等比数列的前项和，则，则有，解得，故答案为：.16. 已知双曲
9、线的左、右焦点分别为，设过的直线与的右支相交于两点，且，则双曲线的离心率是_.分析：设的中点为，连接，由题意可得，由抛物线的定义可得，在中和中中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，进而可得离心率.解答：如图：设的中点为，连接，因为，为的中点，所以，由，得，所以，在中，所以，在中，因为，所以，整理可得：，即，所以，即，所以或（舍），所以离心率，故答案为：点拨：关键点点睛：本题的关键点是想到取的中点，容易求出，根据已知条件及抛物线的定义可以求出，要能想到，即可将表示出来，代入中即可解决.三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 如图，在三棱锥中，平面，分别为
10、，的中点.求证（1）平面；（2）（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）证明平面即得证；（2）证明平面，即得证.解答：（1）由题得又平面平面，所以平面；（2）因平面，所以,又，平面,所以平面，因为平面，所以.点拨：方法点睛：空间直线、平面平行（垂直）位置关系的判定和证明一般有两种方法.方法一（几何法）：线线平行（垂直）线面平行（垂直）面面平行（垂直），它体现的主要是一个转化的思想.方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.18. 在递增的等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.（1）；（2）.分析：（1）根据题意设公差为，进而得，解方程得，进而
11、得；（2）由（1）得，再根据裂项求和法求和即可得答案.解答：解：（1）设公差为，由题意，得解得或（舍）所以，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以.点拨：本题考查等差数列基本量的计算，裂项相消求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于求得，再结合裂项相消求和法求和即可.19. 某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，分成5组，制成如图所示频率分布直方图.（1）求图中x的值；（2）求这组数据的平均数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度
12、评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.（1）0.01；（2）77；（3）.分析：（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；（2）由平均数的公式直接求解即可；（3）先计算满意度评分值在内有人，按比例男生3人女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可.解答：解：（1）由，解得；（2）这组数据的平均数为；（3）满意度评分值在内有人，男生数与女生数的比为3：2，故男生3人，女生2人，记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，从5人中抽取2人有：， ，所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件：，共6个，所以 .点拨：结论点
13、睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算，直方图中各个小长方形的面积之和为1；直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中的频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；直方图中每组样本的频数为频率乘以总数；最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知的内角、的对边分别是、，且，.（1）求的大小；（2）求边上的高.（1）；（2）.分析：（1）根据正弦定理，由题中条件，化简整理，即可得出结果；（2）设边上的高为，根据余弦定理，由题中条件，求出，再由三角
14、形面积公式，列出等式求解，即可得出结果.解答：（1）因为，由正弦定理得，化简得：，角为三角形内角，所以，则；（2）设边上的高为，由余弦定理，可得：，则，.即，或（舍去），由面积公式得，所以.21. 已知椭圆及直线.（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）若直线被此椭圆截得的弦的中点横坐标为1.求直线的方程.（1）；（2）.分析】（1）直线方程与椭圆方程联立，利用判别式大于等于0，即可得答案；（2）利用韦达定理和中点坐标公式可得，结合求出的值，即可得答案；解答：（1）有公共点，（2），又.直线的方程为：；22. 已知抛物线与圆一个交点的横坐标，动直线与相切于点，与交于不同的两点，
15、为坐标原点.（1）求的方程；（2）若，求的值.（1）；（2）.分析：（1）将抛物线方程和圆方程联立，消去，得到关于的方程，然后将交点的横坐标代入方程中，可求出圆的半径，可得的方程；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立成方程组，消元后判别式等于零，得到，直线方程与圆的方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再结合，可得，从而可求出，的值，从而可求出点的坐标，进而得到的值解答：（1）联立抛物线与圆的方程：，得，由题意，满足上述方程，所以解得，所以的方程为.（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得，由于直线与相切，所以，即联立直线与圆的方程：，得设，则，.由得，即故化简得，将代入得：，解得或（舍去），所以，故直线的.解方程组得，切点的坐标为，.（1）当的坐标为时，此时，故；（2）当的坐标为时，此时，故.所以，.点拨：本题主要考查抛物线方程、圆的方程、向量等综合知识，考查推理论证、转化与化归及运算求解能力，属于较难题.