1、三十一两平面所成的角、空间中的距离问题 (15分钟30分)1已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为()A B1 C D2【解析】选A.因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以(1，0，0)，(1，2，2)，所以点A到直线BC的距离为d1.2已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_【解析】由题意得(1，2，0)，(1，0，3).设平面ABC的法向量为n(x，y，z).由得令x2，得y1，z，所以平面ABC的一个法向量为n.平面xOy的一个法向量为(0，0，3).由
2、此易求出所求锐二面角的余弦值为.答案：3在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN的最小值是_【解析】因为M，N是异面直线AC，BF上两点，所以MN的最小值即为两条异面直线间距离d.因为平面ABCD平面ABEF，ABBC，平面ABCD平面ABEFAB，所以BC平面ABEF，又ABBE，则以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，F，C，所以，设异面直线AC，BF的公垂向量n，则令x1，则y1，z1，所以n，d，即MN的最小值为.答案：4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是
3、线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_【解析】如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0).所以，(1，1，0)，(1，0，1).设平面ACD1的法向量为n，则即令x1，则yz1，所以n.所以点M到平面ACD1的距离d.又，故MN平面ACD1.故直线MN到平面ACD1的距离为.答案：5如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值【解析】如图，以
4、点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2).(1)易得(0，1，2)，(2，0，0)，则0，所以PCAD.(2)易得(0，1，2)，(2，1，0).设平面PCD的法向量为n(x，y，z).由得令z1，可得n(1，2，1).又(2，0，0)是平面PAC的一个法向量，所以cos ，n，从而sin ，n.所以二面角APCD的正弦值为.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1若平面的一个法向量为n1(4，3，0)，平面的一个法向量为n2(0，3，4)，则平面与平面所成角的余
5、弦值为()A BC D以上都不对【解析】选B.因为cos n1，n2，所以平面与平面夹角的余弦值为.2RtABC的两条直角边BC3，AC4，PC平面ABC，PC，则点P到斜边AB的距离是()A3 B9 C12 D2【解析】选A.以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以(4，3，0)，.所以点P到AB的距离d3.3把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角ABDC，若AB1，AD，AC，则平面ABD与平面BCD所成的角为()A30 B60 C120 D90【解析】选B.如图，过点A作AEBD，过点C作CF
6、BD.又因为AC，所以|2|2|22，|，|1，所以，所以cos ，所以平面ABD与平面BCD所成的角为60.4已知在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BCBD，AB与平面ACD所成角的正切值为，则点B到平面ACD的距离为()A B C D【解析】选D.以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设BAt(t0)，B(0,0,0)，C(,0,0)，D(0,0)，A(0,0,t).(0,0,-t)，(,0,t)，(-,0).设平面ACD的法向量n(x,y,z)，则，令x1，得y1，z，故n.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为，所以直线AB与平面ACD
7、所成角的正弦值为.即，解得t2.所以平面ACD的法向量n，故点B到平面ACD的距离为d.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是()AB1GBCB平面AEF平面AA1D1DAD1CA1H平面AEFD二面角EAFC的大小为【解析】选BC.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，F，B1(1，1，1)，G，D1(0，0，1)，H，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以，(
8、，1，0)，(，0，)，(1，0，1)，(1，0，0)，所以2，所以AD1EF，所以平面AEF与平面ADD1A1的交线为AD1，故B正确；因为10，所以B1G与BC不垂直，故A错误；设平面AEF的法向量为m(x，y，z)，则，所以，令y1，可得m(2，1，2)，m0110，所以A1H平面AEF，故C正确；平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，所以cos m，n，设二面角EAFC的大小为，则cos ，故D错误6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是()A点A到直线BE的距离是B点O到平面ABC1D1的距
9、离为C平面A1BD与平面B1CD1的距离为D点P到直线AB的距离为【解析】选BC.如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1，E，所以(1，0，0)，.设ABE，则cos ，sin .故点A到直线BE的距离d1|sin 1，故A错易知，平面ABC1D1的一个法向量(0，1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2，故B对(1，0，1)，(0，1，1)，(0，1，0).设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则所以令z1，得y1，x1，所以n(1，1，1).所以点D1到平面A1BD的距离d3.因为平面A1BD平
10、面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1的距离为，故C对因为，所以，又(1，0，0)，则，所以点P到直线AB的距离d，故D错三、填空题(每小题5分，共10分)7如图所示，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E，又SAAB，SBBC，则以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的平面角的度数为_【解析】以A为原点，以AC所在直线为y轴，以AS所在直线为z轴，以和AS，AC都垂直的直线AF为x轴，建立空间直角坐标系如图所示，设SA1，因为SA平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量因为SAAB
11、1，SB，又SBBC，所以BC，所以AC.因为DE垂直平分SC，所以E为SC的中点，又SBC是等腰三角形，所以BESC，又BE平面EDB，SC平面EDB，所以SC平面EDB，所以是平面EBD的一个法向量由题设知S(0，0，1)，E.所以(0，0，1)(0，0，0)(0，0，1)，(0，0，1)，所以，|1，|1，所以cos ，所以，60，所以平面BDE与平面BDC所成的角为60.答案：608如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA1ACBC1，则异面直线BC1与A1B1所成的角为_；二面角ABC1C的余弦值是_【解析】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，所以CC1BC，C
12、C1AC，ACBC，如图以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，C1(0,0,1)，B1(0,1,1)，A1(1,0,1).所以(0,-1,1)，(-1,1,0)，(-1,1,0).所以cos ，所以异面直线BC1与A1B1所成的角为；设平面ABC1的法向量为n(x,y,z)，则即令y1，则n(1,1,1)，显然平面CBC1的一个法向量为m，cos n，m，故二面角ABC1C的余弦值是.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂
13、直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)，所以(2，4，2)，(4，2，2).设n(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则令x1，则y1，z3，所以平面EFG的一个法向量为n(1，1，3).而(2，0，0)，所以d.10如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值【解析】(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线
14、为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0).设n(x，y，z)是平面MAB的一个法向量，则即可取n(1，0，2).是平面MCD的一个法向量，因此cos n，sin n，.所以平面
15、MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.1如图，在棱长都相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，E是棱AA1上的动点设AEx，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的变化是()A增大 B先增大再减小C减小 D先减小再增大【解析】选D.设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，AEx，0x2，设平面BDE与底面ABC所成锐二面角为，以A为坐标原点，过点A在底面ABC内与AC垂直的直线为x轴，AC，AA1所在的直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，则B(，1，0)，D(0，2，1)，E(0，0，x)，(，1，1)，(0，2，1x)，设平面BDE的法向量m(s，t，k)
16、，则即令k2，则tx，sx1，所以平面BDE的一个法向量m(x1，x，2)，底面ABC的一个法向量为n(0，0，1)，cos |cos m，n|，当x，cos 随着x增大而增大，则随着x的增大而减小；当x，cos 随着x增大而减小，则随着x的增大而增大2如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若平面PAC与平面EAC夹角的余弦值为，求直线PA与平面EAC夹角的正弦值【解析】(1)因为PC平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC，因为AB2，ADCD1，所以ACBC，所以AC2BC2AB2，所以ACBC，又BCPCC，所以AC平面PBC，因为AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC.(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0).设P(0，0，a)(a0)，则E，(1，1，0)，(0，0，a)，取m(1，1，0)，则mm0，所以m为平面PAC的法向量设n(x，y，z)为平面EAC的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cos m，n|，则a2.于是n(2，2，2)，设直线PA与平面EAC的夹角为，则sin |cos ，n|，即直线PA与平面EAC夹角的正弦值为.
