1、轴对称图形全章复习与巩固知识讲解（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解线段、角的轴对称性，并掌握与其相关的性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么
2、就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2
3、.线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线3.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.4.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（,）.要点二、线段、角的轴对称性1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.（
4、2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三
5、角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？【答案与解析】该算式的情况是：12085205【总结升华】从镜子里看
6、物体左右相反举一反三：【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（ ）.【答案】B ；提示：从水中看物体上下颠倒2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法 【答案与解析】解：作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A球撞击桌面边缘CF的位置，A球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP转化成了线段GP，通过找A点的对称点，从而确定点P的位置.举一反三：【变式】已知MON内有一点P，P关于OM，ON的对
7、称点分别是和，分别交OM, ON与点A、B，已知15，则PAB 的周长为（ ）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24【答案】A；提示：根据轴对称的性质，PAB 的周长等于.3、如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标 【思路点拨】关于AB直线对称，且与ABC全等的ABD有一个，此时的ABC与ABD绕着AB的中点旋转180，又可以找到两个与ABC全等的三角形.【答案与解析】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，1）；（1，1）；（1，3）. 【总结升华】有一条边相同的全等三角形，可以通过轴对称和旋转的方
8、法找出，注意不要漏解.举一反三：【变式】在直角坐标系中，ABC关于直线1轴对称，已知点A坐标是（4，4），则点B的坐标是（ ）A.（4，4） B.（4，2） C.（4，2） D.（2，4）【答案】C；提示：点A和点B是关于直线1对称的对应点，它们到1的距离相等是3个单位长度，所以点B的坐标是（4，2）类型二、等腰三角形的性质与判定4、已知：一等腰三角形的两边长，满足方程组，则此等腰三角形的周长为（）A.5 B.4 C.3 D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程组得，当
9、腰为1，2为底时，112，不能构成三角形， 当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2215【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去举一反三：【变式】已知等腰三角形的一个内角为70，则另两个内角的度数是（）A.55，55 B.70，40 C.55，55或70，40 D.以上都不对 【答案】C；提示：当70为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（18070）255，当70为底角时,另外一个底角也是70,顶角是180140405、（2014春东城区期末）如图，
10、ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M（1）若ACD=114，求MAB的度数；（2）若CNAM，垂足为N，求证：AN=MN【思路点拨】（1）根据ABCD，ACD=114，得出CAB=66，再根据AM是CAB的平分线，即可得出MAB的度数；（2）由ABCD，得出MAB=CMA，AM是CAB的平分线，MAB=CAM，得出CAM=CMA，得出ACM为等腰三角形，再由CNAM三线合一求得结论即可【答案与解析】（1）解：ABCD，ACD+CAB=180，又ACD=114，CAB
11、=66，由作法知，AM是CAB的平分线，MAB=CAB=33；（2）证明：ABCD，MAB=CMA，AM是CAB的平分线，MAB=CAM，CAM=CMA，CA=CM，又CNAM，AN=MN【总结升华】此题考查角平分线的作法和意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质（三线合一）等知识解决问题举一反三：【变式1】如图，12，ABAD，BD90，请判断AEC的形状，并说明理由【答案】解：AEC是等腰三角形理由如下：12，1323，即BACDAE，又ABAD，BD，ABCADE（ASA），ACAE即AEC是等腰三角形【变式2】如图，BAC90，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和AC
12、D，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系【答案】ED2AM解：连接DE，BAC90，M是BC的中点AMBMMCEADBAC90，AEAB，ACADABCAEDEDBCED2AM类型三、等边三角形的性质与判定6、如图，设为等边ABC内一点，且ADBD，BPAB, DBPDBC.求BPD的度数.【答案与解析】解：如图，连接CD， ABC是等边三角形，ABACBC，又ADBD，DC是公共边，BDCADC（SSS），DCBDCA6030，DBCDAC，DBPDBC，DACDBP，又已知BPAB，BPAC，DBPDAC（SAS），PACD30【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全
13、等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件举一反三：【变式】（2014秋东胜区校级期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形BE交AC于F，AD交CE于H（1）求证：BCEACD；（2）求证：FHBD【答案】证明：（1）ABC和CDE都是等边三角形，BC=AC，CE=CD，BCA=ECD=60，BCA+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD，在BCE和ACD中，BCEACD （SAS）（2）由（1）知BCEACD，则CBF=CAH，BC=AC又ABC和CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，ACH=180ACBHCD=60=BCF，在BCF和ACH中，BCFACH （ASA），CF=CH，又FCH=60，CHF为等边三角形FHC=HCD=60，FHBD