1、22.2 椭圆的几何性质学习目标1.掌握椭圆的简单几何性质2理解离心率对椭圆扁平程度的影响3掌握直线与椭圆位置关系的相关知识 课堂互动讲练 知能优化训练 22.2课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_这两个定点叫做椭圆的_，两焦点的距离叫做椭圆的_椭圆焦点焦距2写出椭圆的标准方程：焦点在x轴上时是：_焦点在y轴上时是：_ x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)1椭圆的简单几何性质焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 _ 范围 axa且byb bxb且aya x2a2y2b21(a
2、b0)y2a2x2b21(ab0)焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 A1(a,0)、A2(a,0)，B1(0，b)、B2(0，b)A1(0，a)、A2(0，a)，B1(b,0)、B2(b,0)轴长 短轴长_，长轴长_ 焦点 F1(c,0)、F2(c,0)F1(0，c)、F2(0，c)焦距|F1F2|_ 对称性 对称轴_，对称中心_ 离心率 e_2b2a 2c x轴、y轴(0,0)ca(0e0，n0，mn)，由已知椭圆过点 A(2，6)，所以有4m36n 1.由题设知 a2b，m2 n，或 n2 m，由可解得：n37，m148.由可解得：m13，n52.【名师点评】求椭圆的标准方程主
3、要是围绕椭圆几何性质中的几个量：a、b、c、e来罗列条件，通过其联系从而求出标准方程所以所求椭圆的标准方程为：x2148y2371或x213y2521.自我挑战 1(1)已知椭圆的一个焦点F(2 3，0)，且过点 A(2 3，1)，求椭圆的标准方程(2)已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e35，经过点 A(5 32，2)，求椭圆的标准方程(3)已知椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴，过点 A(4,0)，B(0,5)，求椭圆的标准方程解：(1)设 椭 圆 标 准 方 程 为 x2a2 y2b2 1(ab0)由已知：2 32a2 1b21，a2b22 32，由知：a2b212 代入，得12b212
4、1b21.解得b24或b23(舍)a241216，即所求椭圆标准方程为x216y241.(2)设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 x2a2 y2b2 1(ab0)，则 754a2 4b21，由已知 e35，ca35，c35a.b2a2c2a2(35a)2，即 b21625a2.把代入得，754a242516a2 1，解得 a225，b216，所求椭圆的标准方程：x225y2161.(3)依题意知 A、B 应为椭圆的两个顶点，且a5，b4，焦点在 y 轴上所求椭圆的标准方程为：y225x2161.椭圆的离心率(1)求椭圆的离心率 e 时，主要是利用 eca1b2a2，还要注意 e(0,1)，根据
5、这个取值范围进行取舍(2)求离心率 e 的取值范围时，关键是找出 a，b，c 满足的不等式，然后转化成关于 e 的不等式进行求解，同时还要注意隐含条件 e(0,1)A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率【思路点拨】利用几何条件，找出相关联系，把条件转化为a，b，c之间的关系例2【解】连结 BF2.AF1F2为正三角形，且 B 为线段 AF1的中点，F2BBF1.又BF2F130，F1F22c，BF1c，BF2 3c.据椭圆定义得 BF1BF22a，即 c 3c2a.ca 31.椭圆的离心率 e 31.【名师点评】所谓求椭
6、圆的离心率，即求ca的值，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为 a、b、c 之间的关系，如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2a2b2 等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c 是平方关系，所以，在求 e 值时，也常先考查它的平方值解决直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断0直线和椭圆相交；0直线和椭圆相切；b0)，且 a2b2(5 2)250，由x2b2y2a21y3x2，(a29b2)x212b2x4b2a2b20，x1x2212，6b2a29b212，a23b2，此时 0，由：
7、a275，b225，x225b2751.1通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)及其他特性的讨论，从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意：图形与性质对照，方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质方法感悟 2涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及根与系数的关系的运用，特别是方程思想在解题中的应用3求椭圆的标准方程一般用待定系数法，但要注意先“定型”，再“定量”当焦点位置不确定时，要注意分类讨论4点 M(x0，y0)与椭圆的位置关系以方程x2a2y2b21(ab0)为例，其中 F1，F2 为椭圆的两个焦点(1)点 M(x0，y0)在椭圆上MF1MF22ax20a2y20b21b2x20a2y20a2b2；(2)点 M(x0，y0)在 椭 圆 内 MF1 MF22ax20a2y20b21b2x20a2y202ax20a2y20b21b2x20a2y20a2b2.知能优化训练