1、高二数学（理）参考答案 第 1 页（共 9 页）豫南九校 20202021 学年上期第四次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案ABCACCDADACB1【答案】A【解析】由3k，可得30,10kk,故方程22131xykk+=表示双曲线，由方程22131xykk+=表示双曲线可得(3)(1)0k kab，则0=ab，但此时22log()log 10=ab，故 B 错；因为0ab，由不等式的可开方性，可得22ab，故 C 正确；因为函数3=xy为增函数，由0ab可得 3
2、3ab，故 D 正确.故选 B.3【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为0=xy，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2222211=+pd，又因为0p，所以2=p.故选 C.4【答案】A【解析】()2,1,3=a，()1,2,1=b，()()()2,1,31,2,12,12,3=+ab，()aab，()()()()()22112330=+=aab，解得2=.故选 A5【答案】C【解析】等比数列an中，由 a3a114a7，可得2774aa=，解得 a74，又 b7a7，b74，数列bn是等差数列，b5+b92b78故选 C6【答案】C高二数学（理）参考答案 第
3、 2 页（共 9 页）【解析】实数 x，y 满足约束条件211+yxxyx的可行域如下图所示：依题意，1yx可视为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率，由图分析易得：当1=x，0=y时，其斜率最小，即11+y取最小值12，当1=x，2=y时，其斜率最大，即11+yx的取最大值 12 故11+yx的取值范围是1 1,2 2故选 C7【答案】D【解析】设 ABx=m，则m,3 mBCxBDx=，在BCD中，由余弦定理知22222260031cos120226002BCCDBDxxBC CDx+=，解得600 x=，故铁塔的高度为 600m.故选 D.8【答案】A【解析】因为直三棱柱111ABCA
4、 B C 的底面是等腰直角三角形，ABAC，故以 AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA 为轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB=，则12BB=，(1,0,0)B，(0,1,0)C，1(1,0,2)B，1(0,1,2)C，(1,0,2)AB=，(1,1,2)BC=，111111123cos,632ABBCAB BCAB BC+=高二数学（理）参考答案 第 3 页（共 9 页）直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为36故选 A9【答案】D【解析】由2 PFx 轴，得22=bPF，不妨设,bP c a，00(,)Q xy，由114=PFFQ，得2003,24=cbxya，代入椭圆方程，得2222
5、91416+=cbaa，又222=bac，解得217=cea.故选 D.10【答案】A【解析】正项等比数列中，2979=aqa，所以3=q.因为11222111127mnm nmna aa qa qa qa+=，所以5+=mn.所 以 1161116116116()()(17)(217)5555nmnmmnmnmnmnmn+=+=+=，当 且 仅 当16=nmmn，即4=nm 时取等号，因为 m，*nN，5mn+=，故当1=m，4=n时，116+mn的最小值为 5.故选 A.11【答案】C【解析】因为 sin1sin2=BC，由正弦定理得12=bc，即2=cb，由22(3)cos=abCCA
6、CB，得22(3)coscos=abCabC，所以 cos0=C或223=abab，当 cos0=C时，2C=；当223=abab 时，由余弦定理得222222222222(2)31cos222(3)2(3)+=abcabbabCababab，所以3C=.综上，2C=或 C=故选 C.12【答案】B【解析】设椭圆的长轴长为 2a，离心率为 e，双虚线的实轴长为22a，离心率为2e，焦距为 2c，不妨设 P 为第一象限的点，则高二数学（理）参考答案 第 4 页（共 9 页）在椭圆中：1212+=PFPFa，在双曲线中:1222=PFPFa，联立解得,112212,=+=PFaaPFaa，在12P
7、F F中，由余弦定理得：2221212(2)2cos 3cPFPFPF PF=+，即()()()()222121212121422=+caaaaaaaa，即()()2222222121212423=+=+caaaaaa，2212134+=ee椭圆的离心率 132=e，双曲线的离心率23 24=e.故选 B.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）131142415 90161,1213【答案】1【解析】4=n时，4331531,32=+=aaa；3=n时，322131,22=+=aaa；2=n时，211112,1aaa=+=.14【答案】24【解析】由正弦定理知：sin2
8、sin=aAcC，又2=bac，所以:2:2:1=a b c，再由余弦定理得()2222222122cos2422 1+=bcaAbc.故答案为：24.15【答案】90【解析】由题意得，取11C D 中点 M，则111111()()()()PCPDPMMCPMMDPMMCPMMC=+=+高二数学（理）参考答案 第 5 页（共 9 页）22211PMMCPM=，因 为2PA=，所 以 P 在 以 A 为 球 心 的 球 面 上，所 以min2321PMAM=，因为1112PMC D=，所以11PDPC，所以1PC与1PD的夹角为90.故答案为：90.16【答案】1,12【解析】因为过点 M 的椭
9、圆的切线为00221+=x xy yab，所以切线的斜率为2020 b xa y，由20020012=cyb xa yx，解得202=ca，所以椭圆离心率的取值范围是 1,12.故答案为：1,12.三、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【解析】（1）当0=a时，30+x不恒成立，不符合题意；当0a 时，p 为真命题，则有01 120aa=a.综上所述，112a.（4 分）（2）01,2x，021xa，则14a.因为pq 为真命题，且pq 为假命题，所以 p 真 q 假或 p 假 q 真，当 p 真 q 假时，有11214 aa，即 111
10、24aa，无解.综上所述，11124a.（10 分）18【解析】（1）()c2c s0oso=cbAaB，高二数学（理）参考答案 第 6 页（共 9 页）由正弦定理得：()cos2sinsinsin cos0=ACBAB，即 2cos sincos sinsin cos0=ACABAB，()2cos sincos sinsin cossin=+=+ACABABAB即 2cos sinsin=ACC，sin0C，2cos1=A，即1cos2=A，又 0A ，3A=.（6 分）（2）3=b，由（1）知3A=，113sin33 3222ABCSbcAc=，4=c，由余弦定理有22212cos9162
11、 3 4132=+=+=abcbcA，13=a.（12 分）19【解析】（1）当 070 x时，2211100404006040022=+=+yxxxxx；当70 x时，6400640010010120604001660=+=+yxxxxx2160400,070,264001660,70.+=+xxxxyxxxxNN且且（6 分）（2）当 070n时，121=nnaann，所以当2n时，有121=nnaann，又11nan 0（n2）时，所以211nnanan=因此 nan是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.所以12 22=nnnan，所以2=nnan.（6 分）（2）由（1）知(21)2
12、=nbn，则231 23252(21)2=+nnTn，2，得23121232(23)2(21)2+=+nnnTnn，-，得()()23122 222212+=+nnnTn()114 1222(21)212+=+nnn21282(21)2+=+nnn16(23)2+=+nn.（12 分）21【解析】（1）如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，由=SAAB，可设1=ABADAS则(0,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C，(1,0,0)D(0,0,1)S，11,0,22M.高二数学（理）参考答案 第 8 页（共 9 页）11,0,22=AM，(1,1,1)=CS，1102
13、2=+=AM CS.AMCS，即有 SCAM，又 SCAN且=ANAMA.SC平面 AMN.（5 分）（2）SA底面 ABCD，AS 是平面 ABCD 的一个法向量，(0,0,1)=AS.设平面 ACM 的法向量为(,)x y z=n，则0,0.ACAM=nn由(1,1,0)AC=，11,0,22AM=，代入得00,1100.22+=+=xyxz，令1=x，则(1,1,1)=n为平面 ACM 的一个法向量，所以13cos3|3ASASAS=nnn，由图知二面角 D-AC-M 为锐二面角，二面角 D-AC-M 的余弦值为33.（12 分）22【解析】（1）由题意有2223=+=caacc，得21
14、=ac，22211=bacb，故所求椭圆 M 的方程为：2212+=xy（2）设直线 AB 方程为1=+xmy，由22122=+=xmyxy，消去 x 可得：()222210+=mymy，所以222+=+ABmyym，212=+ABy ym.则22=+Cmym，2212=+=+CCxmym，即点222,22+mC mm，则 PC 方程为22222=+mym xmm，令2=x得32252+=+mmym，即32252,2+mmPm，高二数学（理）参考答案 第 9 页（共 9 页）则()22223222231226|2222+=+=+mmmmPCmmm又()2222 21|12+=+=+ABmABmyym，则()222223|2tan214111|2+=+mPCPACmmmAB，当且仅当1=m时取等号.则当 PAC 取得最小值时，直线 AB 方程为10=xy.