1、第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知 识 梳 理1简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词(2)命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“x”表示“对任意x”，含有全称量词的命题，称为全称命题全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x)(2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词用符号“x”表示“存在x”，含有存在量词的命题称为存在性命题存在性
2、命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为：xM，p(x)3含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)辨 析 感 悟1逻辑联结词的理解与应用(1)命题pq为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题()(2)命题pq为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题()2对命题的否定形式的理解(3)(2013山西四校联考改编)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”()(4)(2013东北联考改编)命题p：n0N,2n01 000，则綈p：n N,2n1 000.()(5)(2013四川卷改编)设xZ，集合A
3、是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：xA,2xB，则綈p：xA,2xB.()(6)已知命题p：若xy0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若xy0，则x，y中至多有一个大于0.()感悟提升1一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“”的含义为“或”；“不是”、“”的含义为“非”2两个防范一是混淆命题的否定与否命
4、题的概念导致失误，綈p指的是命题的否定，只需否定结论如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6)考点一含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】 设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图象关于直线x对称则pq为_，pq为_(填“真”或“假”)解析函数ysin 2x的最小正周期为，故命题p为假命题；x不是ycos x的对称轴，命题q为假命题，故pq为假pq为假答案假假规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”一真即真，“且”一假即假，“非”真假相对，做出判断即可【训练1】 (2013湖北卷改编
5、)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为_(填序号)(綈p)(綈q)；p(綈q)；(綈p)(綈q)；pq.解析命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“pq”的否定答案考点二含有一个量词的命题否定【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：xR，x2x0
6、；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一个实数x使x310.解(1)綈p：xR，x2x0，假命题(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题(3)綈r：xR，x22x20，真命题(4)綈s：xR，x310，假命题规律方法 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词【训练2】 (1)(2013江门、佛山模拟)已知命题p：x1，x210，那么綈p是_(2)命题：“对任意k0，方程x
7、2xk0有实根”的否定是_解析(1)特称命题的否定为全称命题，所以綈p：x1，x210.(2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k0，使方程x2xk0无实根”答案(1)x1，x210(2)存在k0，使方程x2xk0无实根考点三含有量词的命题的真假判断【例3】 下列四个命题p1：x0(0，)，；p2：x0(0,1)，x0x0；p3：x(0，)，x；p4：x，x.其中真命题是_根据幂函数的性质，对x(0，)，故命题p1是假命题；由于xx，故对x(0,1)，xx，所以x0(0,1)，x0x0，命题p2是真命题；当x时，1，x1，故x不成立，命题p3是假命题；x
8、，1，x1，故x，命题p4是真命题解析答案p2，p4规律方法 对于存在性命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立. 【训练3】 (2013开封二模)下列命题中的真命题是_(填序号)xR，使得sin xcos x；x(0，)，exx1；x(，0)，2xcos x.解析因为sin xcos xsin，故错误；当x0时，y2x的图象在y3x的图象上方，故错误；因为x时有sin xcos x，故错误答案1逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算
9、中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题2正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真答题模板1借助逻辑联结词求解参数范围问题【典例】 (12分)已知a0，设命题p：函数yax在R上单调递增；命题q：不等式ax2ax10对xR恒成立若“pq”为假，“pq”为真，求a的取值范围规范解答函数yax在R上单调递增，p：a1.不等式ax2ax10对xR
10、恒成立，且a0，a24a0，解得0a4，q：0a4.(5分)“pq”为假，“pq”为真，p、q中必有一真一假(7分)当p真，q假时，a|a1a|a4a|a4(9分)当p假，q真时，a|0a1a|0a4a|0a1(11分)故a的取值范围是a|0a1，或a4(12分)反思感悟 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算【自主体验】(2014泰州月考)命题p：关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，q：函数f(x)(32a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围解设g(x)x22ax4，由于关于x的不等式x22ax4
11、0对一切xR恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故4a2160，2a2.又函数f(x)(32a)x是增函数，32a1，a1.又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假(1)若p真q假，则1a2；(2)若p假q真，则a2.综上可知，所求实数a的取值范围是(，21,2).基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1命题“xRQ，x3Q”的否定是_解析根据存在性命题的否定为全称命题知答案xRQ，x3Q2已知p：235，q：54，则p綈q为_，pq为_(填“真”或“假”)解析p为真，綈p为假又q为假，綈q为真，“p且綈q”为真，“p或q”为真答案真真3命题：xR，sin x
12、2的否定是_命题(填“真”、“假”)解析命题的否定是xR，sin x2，所以是假命题答案假4下列命题中的假命题是_xR，lg x0；xR，tan x；xR，x30；xR,2x0解析当x1时，lg x0，故命题“xR，lg x0”是真命题；当x时，tan x，故命题“xR，tan x”是真命题；由于x1时，x30，故命题“xR，x30”是假命题；根据指数函数的性质，对xR,2x0，故命题“xR,2x0”是真命题答案5已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数，p2：函数y2x2x在R上为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中，真命题是_解析命
13、题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真答案q1，q46命题：“xR，exx”的否定是_答案xR，exx7若命题p：关于x的不等式axb0的解集是x|x，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|axb，则在命题“pq”、“pq”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有_解析依题意可知命题p和q都是假命题，所以“pq”为假、“pq”为假、“綈p”为真、“綈q”为真答案綈p，綈q8若命题“xR，ax2ax20”是真命题，则实数a的取值范围是_解析当a0时，不等式显然成立；当a0时，由题意知得8a0.综上，8a0.答案8,0二、解答题9分别指出“pq”、“pq”
14、、“綈p”的真假(1)p：梯形有一组对边平行；q：梯形有两组对边相等(2)p：1是方程x24x30的解；q：3是方程x24x30的解(3)p：不等式x22x10的解集为R；q：不等式x22x21的解集为.解(1)p真q假，“pq”为真，“pq”为假，“綈p”为假(2)p真q真，“pq”为真，“pq”为真，“綈p”为假(3)p假q假，“pq”为假，“pq”为假，“綈p”为真10已知c0，且c1，设p：函数ycx在R上单调递减；q：函数f(x)x22cx1在上为增函数，若“pq”为假，“pq”为真，求实数c的取值范围解函数ycx在R上单调递减，0c1.即p：0c1，c0且c1，綈p：c1.又f(x
15、)x22cx1在上为增函数，c.即q：0c，c0且c1，綈q：c且c1.又“pq”为真，“pq”为假，p与q一真一假当p真， q假时，c|0c1.当p假，q真时，c|c1.综上所述，实数c的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是_ ，R，使sin()sin sin ；R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数；mR，使f(x)(m1)xm24m3是幂函数，且在(0，)上单调递减；a0，函数f(x)ln2 xln xa有零点解析对于，当0时，sin()sin sin 成立；对于，当时，f(x)sin(2x)cos 2x为偶函数
16、；对于，当m2时，f(x)(m1)xm24m3x1，满足条件；对于，令ln xt，a0，对于方程t2ta0，14(a)0，方程恒有解，故满足条件答案2(2013衡水二模)已知命题p：“xR，使得x22ax10成立”为真命题，则实数a的取值范围是_解析“xR，x22ax10”是真命题，即不等式x22ax10有解，(2a)240，得a21，即a1或a1.答案(，1)(1，)3(2014宿州检测)给出如下四个命题：若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a 2b1”；“xR，x211”的否定是“x0R，x211”；在ABC中，“AB”是“sin A
17、sin B”的充要条件其中不正确的命题的序号是_解析若“pq”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以不正确；正确；“xR，x211”的否定是“x0R，x211”，所以不正确；在ABC中，若AB，则ab，根据正弦定理可得sin Asin B，所以正确答案二、解答题4已知命题p：方程x2mx10有两个不等的负根；命题q：方程4x24(m2)x10无实根若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围解若方程x2mx10有两个不等的负根，则解得m2，即命题p：m2.若方程4x24(m2)x10无实根，则16(m2)21616(m24m3)0，解得1m3，即q：1m3.因“p或q”为真，所以p，q
18、至少有一个为真，又“p且q”为假，所以命题p，q至少有一个为假，因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真或解得：m3或1m2，即实数m的取值范围是(1,23，)基础回扣练集合与常用逻辑用语(建议用时：60分钟)一、填空题1(2013新课标全国卷改编)已知集合A1,2,3,4，Bx|xn2，nA，则AB_.解析Bx|xn2，nA1,4,9,16，AB1,4答案1,42(2013合肥一模)设全集UR，集合Mx|x1，Px|x21，MP_.解析x21，x1或x1.故MPx|x1，或x1答案x|x1，或x13(2014常州质检)若集合P1,2,3,4，Qx|0x5，
19、xR，则xP是xQ的_条件解析P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立答案充分不必要4(2013湖南卷改编)“1x2”是“x2”成立的_条件解析当1x2时，必有x2；而x2时，如x0，推不出1x2，所以“1x2”是“x2”的充分不必要条件答案充分不必要5(2013新课标全国卷改编)已知命题p：xR,2x3x；命题q：xR，x31x2，则命题綈pq为_，綈p綈q为_(填“真”或“假”)解析当x0时命题p为假命题，分别作出函数yx3，y1x2的图象(图略)，易知命题q为真命题答案真假6(2013深圳调研)下列命题为真命题的是_若pq为真命题，则pq为真命题；“x5”是“x24x50”的充分
20、不必要条件；命题“若x1，则x22x30”的否命题为“若x1，则x22x30”；已知命题p：xR，使得x2x10，则綈p：xR，使得x2x10.解析对于，“p真q假”时，pq为真命题，但pq为假命题，故错；对于，否命题应为“若x1，则x22x30”，故错；对于，綈p应为“xR，使得x2x10”，所以错答案7已知命题p：“x(0，)，x”，命题p的否定为命题q，则q是“_”；q的真假为_(填“真”或“假”)解析全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：x(0，)，x.答案x(0，)，x假8(2013江苏卷)集合1,0,1共有_个子集解析所给集合的子集个数为238个答案89已知f(x)ln(1x)的
21、定义域为集合M，g(x)2x1的值域为集合N，则MN_.解析由对数与指数函数的知识，得M(1，)，N(1，)，故MN(1，)答案(1，)10已知集合A0,2，B1，a2，若AB0,1,2,4，则实数a的值为_解析由题意知a24，所以a2.答案211(2014滁州模拟)定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设A1,2，B0,2，则集合A*B的所有元素之和是_解析zxy，xA，yB，且A1,2, B0,2，z的取值有：100；122；200；224.故A*B0,2,4集合A*B的所有元素之和为0246.答案612(2013陕西五校质检)已知两个非空集合Ax|x(x3)4，Bx|a，若ABB，
22、则实数a的取值范围是_解析解不等式x(x3)4，得1x4，所以Ax|1x4；又B是非空集合，所以a0，Bx|0xa2而ABBBA，借助数轴可知a24，解得0a2.答案0,2)13(2013太原五中检测)已知p：0，q：4x2xm0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_(2，)；(，2；2，)；6，)解析00x112x2，由题意知，222m0，即m6.答案14已知数列an是等比数列，命题p：“若a1a2a3，则数列an是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为_解析若已知a1a2a3，则设数列an的公比为q，有a1a1qa1q2.当a10时，解得q1，此时数列a
23、n是递增数列；当a10时，解得0q1，此时数列an也是递增数列反之，若数列an是递增数列，显然有a1a2a3，所以命题p及其逆命题都是真命题由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题答案415(2013盐城模拟)若命题“xR，使得x2(a1)x10”是真命题，则实数a的取值范围是_解析xR，使得x2(a1)x10是真命题，(a1)240，即(a1)24，a12或a12，a3或a1.答案(，1)(3，)16(2013宿迁质检)下面有三个命题：关于x的方程mx2mx10(mR)的解集恰有一个元素的充要条件
24、是m0或m4；m0R，使函数f(x)m0x2x是奇函数；命题“x，y是实数，若xy2，则x1或y1”是真命题其中真命题的序号是_解析中，当m0时，原方程无解，故是假命题；中，当m0时，f(x)x显然是奇函数，故是真命题；中，命题的逆否命题“x，y是实数，若x1且y1，则xy2”为真命题，故原命题为真命题，因此为真命题答案二、解答题17已知集合Ax|x22x30，xR，Bx|x22mxm240，xR(1)若AB1,3，求实数m的值；(2)若ARB，求实数m的取值范围解Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)AB1,3，得m3.(2)RBx|xm2，或xm2ARB，m23或m21.m5或m3.故实数m的取值范围是(，3)(5，)18已知命题p：关于x的不等式ax1(a0，a1)的解集是x|x0，命题q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R，如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围解由关于x的不等式ax1(a0，a1)的解集是x|x0，知0a1；由函数ylg(ax2xa)的定义域为R，知不等式ax2xa0的解集为R，则解得a.因为pq为真命题，pq为假命题，所以p和q一真一假，当p假，q真时，由a1；当p真，q假时，由0a.综上，知实数a的取值范围是(1，).