1、高二年级第一学期开学测试数学试题（2021 年 9 月）考试时间：90 分钟满分：100 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1如果复数是纯虚数，那么实数 m 等于（）A1B0C0 或 1D0 或12在新冠疫苗试验初期，某居民区有 5000 人自愿接种了新冠疫苗，其中 6070 岁的老年人有 1400人，1619 岁的中学生有 400 人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民.在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区 5000 名接种疫苗的人群中抽取部分人作为样本进行追踪调查，已知老年人中抽取了 1
2、4 人，则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为（）A14B18C32D503已知直线 a，b 和平面，下列推论错误的是（）A，B，C，或D，4在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知，则（）A2BCD5已知某 个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这 个数的平均数为，标准差为，则（）A，B，C，D，6古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知表面积为的圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为（）ABCD7设 ABC 的内角CBA,所对的边分别为cba
3、,，若ba2，52sinA，则Bsin的值为ABCD8如图，ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H若与共线，则（）ABCD二、多项选择题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9已知复数，则下列结论正确的有（）A 在复平面对应的点位于第二象限B 的虚部是CD10下列说法错误的有（）A如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同B在 ABC 中，必有0CABCABC若，则，一定为一个三角形的三个顶点D向量ba,的夹角为，1,2ba，则322 ba11如图
4、，在棱长为 的正方体中，分别为，的中点，则（）A直线与的夹角为B二面角的正切值是C经过三点截正方体的截面是等腰梯形D点到平面的距离为12甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（）A事件、是相互独立事件B事件、是互斥事件CD三、填空题：本题共 2 小题，每题 5 分，共 10 分.13袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产
5、生 0 到 3之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为.14已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：若，则_；（3 分）若，的夹角为，则的最小值为_（2 分）四、解答题：本题共 3 小题，每题 10 分，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在；是函数的一个零点；已知函数，且.从三个条件中任选一个，补充在下面的
6、问题中，并加以解答：已知ABC 的内角，所对的边分别是，且为锐角.若_，且，试判断ABC 的形状.16如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频数频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数众数中位数.（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.17在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形.设平面与平面的交线为，设，的中点分别为，（1）若，证明：平面平面；（2）证明：平面试卷第 1页，总 14页数学测试学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如果复数2i1imm是
7、纯虚数，那么实数 m 等于（）A1B0C0 或 1D0 或1【答案】D【分析】先对复数化简，然后使其实部为零，虚部不为零，从而可求出实数 m 的值【详解】解：2223223222i(i)(1i)iii1i1i(1i)(1i)111mmmmmmmmmmmmmmm，因为复数为纯虚数，所以2201mmm且32101mm，解得0m 或1m ，故选：D2在新冠疫苗试验初期，某居民区有 5000 人自愿接种了新冠疫苗，其中 6070 岁的老年人有 1400 人，1619 岁的中学生有 400 人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民.在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区 5000 名接
8、种疫苗的人群中抽取部分人作为样本进行追踪调查，已知老年人中抽取了 14 人，则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为（）A14B18C32D50【答案】C【分析】按照抽样比，即可计算结果.【详解】由条件可知，其余符合接种条件的其它年龄段的居民人数为5000 14004003200，设其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为143200321400.故选：C3已知直线 a，b 和平面，下列推论错误的是（）A a，babB/a b，ab试卷第 2页，总 14页C abrr，/ba或 aD/a ，/ba b【答案】D【分析】由线面垂直的性质可判断 A；由线面垂直的判定可判断 B；
9、由线面垂直的性质可判断 C；由线面平行的性质定理可判断 D.【详解】a，b，由线面垂直的性质可得abrr，故 A 正确；/a b，a由线面垂直的判定定理可得b，故 B 正确；abrr，/ba或 a，故 C 正确；/a ，/ba b或 a 与b 异面，故 D 错误.故选：D.4在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知34A，1b ，2c，则 a（）A2B5C6D7【答案】B【分析】直接利用余弦定理，代入数值即可求解.【详解】由余弦定理可得，222222cos3122 12cos 4325abcbcA ，所以5a.故选：B.5已知某 7 个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数
10、据3，此时这8 个数的平均数为 x，标准差为 s，则（）A3x，3s B3x，3s C3x，3s D3x，3s 试卷第 3页，总 14页【答案】B【分析】利用平均数和方差公式可得结果.【详解】某 7 个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为 x，标准差为 s，方差为2s，7 3338x，227 33 338s，3s 故选：B.6古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱内切球的体积是圆柱体积的 23，且球的表面积也是圆柱表面积的 23.已知表面积为18 的圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为（）A 2:3 3
11、B 2:3C 10:3D 4 2:3【答案】B【分析】设圆柱的底面半径为 r，则高为 2r，由圆柱的表面积求得 r，再求出圆柱内切球的表面积及圆柱的体积，作比得答案【详解】解：设圆柱的底面半径为 r，则高为 2r，圆柱的表面积为22222618rrrr，解得3r，圆柱内切球的表面积为24(3)12S，圆柱的体积为2(3)2 36 3V该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为12:6 32:3 故选：B7设ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若2ab，2sin5A，则sin B的值为（）A12B 13C 15D 45【答案】C【分析】利用正弦定理化边为角结合已知条件即可求解.试卷第
12、 4页，总 14页【详解】在ABC中，2ab，由正弦定理可得：sin2sinAB，因为2sin5A，所以22sin5B，解得1sin5B，故选：C.8如图，ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H若OH与OAOBOC共线，则（）A1()3OHOAOBOCB1()2OHOAOBOCCOHOAOBOCD2()OHOAOBOC【答案】C【分析】设()OHm OAOBOC可得()AHAOm OAOBOC，取 BC 边的中点 D，则ODBC，利用 AHBC得(1)20AH BCmOA BCmOD BC ，即0(1)mOA BC 可得答案.【详解】设()OHm OAOBOCOHAHAO，()O
13、Hm OAOBOC，()AHAOm OAOBOC，(1)()AHmOAm OBOC取 BC 边的中点 D，连接OD，则 ODBC，试卷第 5页，总 14页2OBOCOD，0OD BC 又 AHBC0AH BC(1)20AH BCmOA BCmOD BC ，0(1)mOA BC，又OA BC 不恒为 0必有10m ，解得1m OHOAOBOC 故选：C.二、多选题9已知复数2i1 iz ，则下列结论正确的有（）A z 在复平面对应的点位于第二象限B z 的虚部是iC2z D1iz 【答案】AC【分析】先对复数化简计算，然后逐个分析判断即可【详解】解：22i2i(1 i)ii1 i1 i(1 i)
14、(1 i)z ，则 z 在复平面对应的点为(1,1)，位于第二象限，所以 A 正确，z 的虚部为 1，所以 B 错误，22(1)12z，所以 C 正确，1 iz ，所以 D 错误，试卷第 6页，总 14页故选：AC10下列说法错误的有（）A如果非零向量 a 与b 的方向相同或相反，那么 ab 的方向必与 a 或b 的方向相同B在ABC中，必有0ABBCCAC若0ABBCCA，则 A，B，C 一定为一个三角形的三个顶点D【答案】AC11如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D中，E，F 分别为1BB，CD 的中点，则（）A直线1AD 与 BD 的夹角为60B二面角 EADB的正切值
15、是12C经过三点,A E F 截正方体的截面是等腰梯形D点1C 到平面11AB D 的距离为32【答案】AB【分析】对于 A 通过找平行线将求异面直线夹角问题转化为求相交直线的夹角；对于 B 找出二面角平面角计算即可；对于 C 作出满足题意的截面即可；对于 D 利用等体积法计算即可.【详解】对于 A，如图 1 所示，由正方体性质易证得四边形11ABC D 为平行四边形，所以11/ADBC，所以直线1AD 与 BD 的夹角即直线1BC 与 BD 的夹角，直线1BC 与 BD 的夹角为1C BD.又因为1BC D三边都为正方体的面对角线，所以1BC D为等边三角形,故160C BD，即直线1AD
16、与 BD 的夹角为 60.故 A 正确.试卷第 7页，总 14页对于 B，如图 2 所示，连接 AE，由 DA 平面11ABB A,AE 平面11ABB A，得 DAAE，又因为 BAAD，所以EAB即为二面角 EADB的平面角，在 Rt EAB中，1tan2EBEABAB,所以二面角 EADB的正切值是12，故 B 正确.对于 C，如图 3 所示，在1CC 上取114CHCC，四边形 AFHE 即经过三点,A E F 截正方体的截面，不是等腰梯形，故 C 错误.对于 D，如图 4 所示，设点1C 到平面11AB D 的距离为 h，由题意得：1 111 111111113326A B C DB
17、 C DVSAA,111112113323346CAB DAB DVShhh.又因为1 11111A B C DCAB DVV，所以3166h，故33h，故 D 错误.试卷第 8页，总 14页故选:AB12甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件 A 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件 B 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（）A事件 A、B 是相互独立事件B事件 B、C 是互斥事件C P AP BP CD18P ABC【答案】AC【分析】利用列举法分别求出事件 A，B，C，AB，ABC 的概率，结合互斥事件、相互独立
18、事件的定义直接求解【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，基本事件总数6636n，记事件 A 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，则事件 A 包含的基本事件有 18 个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，181362P A，事件 B 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，则事件 B 包含的基本事件有 18 个，分别为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)
19、，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，181362P，事件C 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则事件C 包含的基本事件有 18 个，分别为：试卷第 9页，总 14页(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，(6,6)，181362P C，事件 AB 包含的基本事件有 9 个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6
20、)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，91()364P AB，P ABP A P B，事件 A、B 是相互独立事件，故 A 正确；事件 B 与C 能同时发生，故事件 B 与C 不是互斥事件，故 B 错误；12P AP BP C，故C 正确；ABC 包包含的基本事件有 9 个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，91()364P ABC故 D 错误故选：AC 三、双空题13袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就
21、停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A 19B 318C 29D 518【答案】C【分析】根据题意，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】因为随机模拟产生 18 组随机数，试卷第 10页，总 14页由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：
22、021，001，031，130，共 4 个基本事件，根据古典概型的概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为 42189，故选：C14已知两个非零平面向量a，b 满足：对任意R 恒有12abab，则：若4b，则 a b_；若 a，b 的夹角为 3，则2atbb的最小值为_【答案】83【分析】由题设得216240a ba b 对R 恒成立，利用0 即可求 a b.由题设有|2a ba b，则222|024a bbba b在R 恒成立，利用0 可得|ab，进而应用向量数量积的运算律可得222(2)(1)3atbtb，即可求最小值.【详解】由题意，221()()2abab，则221(21)()4a bb
23、 恒成立，4b 时，216240a ba b 对R 恒成立，224()64(4)4(8)0a ba ba b ，可得8a b.由a，b 的夹角为 3，则|2a ba b，又222|024a bbba b在R 恒成立，22222222(|)(2|)(2|)(|)0a bba bbb aa bbbab，|ab，则22222222(2)4442(1)3atbata bt btttbb，当1t 时，2atbb的最小值为 3.故答案为：8，3【点睛】关键点点睛：根据题设条件，将不等式转化为关于 的一元二次不等式恒成立问题，求试卷第 11页，总 14页得 a b 或|,|ab的数量关系，并利用向量数量积的
24、运算律转化2atbb求最值.四、解答题15在3sincoscossin2ABAB；cosxC是函数 221f xxx 的一个零点；已知函数 1sin 23fxx，且 1f C .从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答：已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且C 为锐角.若_，且2 coscaB，试判断ABC的形状.【答案】等边三角形【分析】由2 coscaB，利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和、差的正弦公式得到sin0AB，即可得到 AB，再根据所选条件求出3C，再由三角形内角和定理计算可得；【详解】解：因为2 coscaB，由正弦定理可得sin2s
25、incosCAB，即sin2sincosABAB，所以sincoscossin2sincosABABAB，所以sincoscossin0ABAB，所以sin0AB，因为 A、B 为三角形的内角，所以0AB，即 AB；若选3sincoscossin2ABAB，则3sin2AB，即3sin2C，因为C 为锐角，所以3C，又 AB，ABC，所以3ABC，故ABC为等边三角形；若选cosxC是函数 221f xxx 的一个零点，令 2210f xxx ，解得12x 或1x ，因为C 为锐角，所以1cos2C，所以3C，又 AB，ABC，所以3ABC，故ABC为等边三角形；若选已知函数 1sin 23f
26、xx，且 1f C ，所以 1sin123f CC，所以12,232CkkZ，解得4,3CkkZ，因为C 为锐角，所以3C，又AB，ABC，所以3ABC，故ABC为等边三角形；试卷第 12页，总 14页16如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）80 90 这一组的频数频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数众数中位数.（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.【答案】（1）4，0.1；（2）68.5，75，70；（3）715.【分析】（1）根据频率分步直
27、方图的意义，计算可得 4050、5060、6070、7080、90100 这 5 组的频率，由频率的性质可得 8090 这一组的频率，进而由频率、频数的关系，计算可得答案；（2）根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法，计算可得答案；（3）记“取出的 2 人在同一分数段”为事件 E，计算可得 8090 之间与 90100 之间的人数，并设为 a、b、c、d，和 A、B，列举可得从中取出 2 人的情况，可得其情况数目与取出的 2 人在同一分数段的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案【详解】（1）根据题意，40 50 的这一组的频率为 0.01 100.1，50 60的这一组的
28、频率为0.015 100.15，60 70 的这一组的频率为0.025 100.25，70 80的这一组的频率为0.035 100.35，90 100 的这一组的频率为0.005 100.05，则80 90 这一组的频率为10.1 0.150.250.350.050.1，其频数为 400.14；（2）这次竞赛的平均数为试卷第 13页，总 14页45 0.1 55 0.1565 0.2575 0.3585 0.1 95 0.0568.5，70 80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，70 分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70；（3）记“取出的 2 人在同一分数段”为事件 E，因为80
29、90 之间的人数为 400.14，设为 a b c d，90 100 之间有 400.052人，设为 A B，从这6人中选出 2 人，有,a b、,a c、,a d、,a A,a B、,b c、,b d、,b A、,b B、,c d、,c A,c B、,d A、,d B、,A B，共15 个基本事件，其中事件 E 包括,a b、,a c、,a d、,b c、,b d、,c d、,A B，共 7 个基本事件，则 715P E.17在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD为正方形，PAD为等边三角形.设平面 PAD与平面 PBC 的交线为l，设 AD，BC 的中点分别为 E，F（1）若2AD，2
30、2PB，证明：平面 PAD 平面 ABCD；（2）证明：l 平面 PEF【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先由勾股定理证明 ABPA，结合 ABAD，推出 AB 平面 PAD，再由面面垂直的判定定理得证；（2）由/ADBC，知/BC平面 PAD，再由线面平行的性质定理知/BClAD，然后由 EFAD，ADPE，知 AD 平面 PEF，进而得证试卷第 14页，总 14页【详解】证明：（1）由题意知，2PAAD，2AB，2 2PB，222ABPAPB，即 ABPA，四边形 ABCD为正方形，ABAD，又 PAADA，PA、AD 平面 PAD，AB 平面 PAD，AB 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD（2）四边形 ABCD为正方形，/ADBC，AD Q平面 PAD，BC 平面 PAD，/BC平面 PAD，又 BC 平面 PBC，平面 PAD 与平面 PBC 的交线为l，/BCl，即 AD/l，E，F 分别为 AD，BC 的中点，EFAD，又PAD为等边三角形，ADPE，EFPEE，EF、PE 平面 PEF，AD 平面 PEF，l 平面 PEF
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