1、专题23 与角相关的问题阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1. 角的分类；2. 角平分线的概念；3. 互余、互补等数量关系
2、角；4. 用方程的观点来进行角的计算.例题与求解 【例1】如图，在33的网格上标出了1和2，则 .（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出的值.【例2】如果与互补，且，则下列表示的余角的式子中：；. 其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 （2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关. 【例3】已知，OC是不在直线OA，OB上的任一条射线. OM，ON分别平分AOC，BOC. 求MON的大小.（题目中考虑的角都小于平角） （湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因OC位置不确定，故分
3、类讨论是解本例的关键. 【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x的值. （湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x的代数式表示，通过解方程求出x的值. 【例5】（1）现有一个19的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1的角来. （2）现有一个17的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1的角来？ （3）用一个21的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1的角来？对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用
4、模板，则得到的是一个19（或17或21）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19（或17或21）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1. 【例6】如图所示，O是直线AB上的一点，COD是直角，OE平分BOC.（1）如图，若，求DOE的度数；（2）在图中，若，直接写出DOE的度数 （用含的代数式表示）；（3）将图中的DOC绕顶点O顺时针旋转至图的位置. 探究AOC和DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； 在AOC的内部有一条射线OF，满足，试确定AOF与DOE的度数之间的关系，说明理由 图 图 （湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出DOE的度数；（2
5、）先根据DOE与COE的互余关系列出相应的关系式，然后用BOC表示出COE，再根据互补角的关系用表示出所求角的度数；（3）可设BOC为一个未知数，分别表示出AOC与DOE，可得相应关系；结合把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.能力训练A 级1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 . （“祖冲之杯”邀请赛试题）2. 如图，那么不大于90的角有 个，它们的度数之和是 .（“希望杯”邀请赛试题）3. 如图，若，则等于 .4. 如图，O是直线AB上一点，OE平分BOD，则图中彼此互补的角有 对.（北京市“迎春杯”竞赛试题）5. 一个角的补角的是6，则这个角是（ ）A. 68 B
6、. 78 C. 88 D. 98（“希望杯”邀请赛试题）6. 用一副三角板可以画出大于0且小于176的不同角度有（ ）种A. 9 B. 10 C. 11 D. 127. 如图，若，1是锐角，则1的余角是（ ）A. B. C. D.（甘肃省兰州市竞赛试题）8. 如图，OD是COB的平分线，OE是AOC的平分线，设，则与的余角相等的角是（ ）A.COD B.COE C.DOA D.COA9. 如图，已知，OD平分AOB，且，求AOB的度数.（北京市“迎春杯”竞赛试题） 10. 如图，已知AOB与BOC互为补角，OD是AOB的平分线，OE在BOC内，. 求EOC的度数.11. 已知，OC平分AOB，
7、OE平分COD. 求AOE的大小.12. 如图，已知OB，OC，OD为AOE内三条射线. （1）图中共有多少个角？ （2）若OB，OC，OD为AOE四等分线，且图中所有锐角的和为400，求AOE的度数. （3）若，求图中所有锐角的和.B 级1. 已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10，则这个角的度数是 . （浙江省杭州市竞赛试题）2. ，中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了23，24，25这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则 . （江苏省竞赛试题）3. 如图，点O在直线AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一侧的射线，那么在这个图形中，不
8、大于平角的角共有 个. （五城市联赛试题）4. 如图，射线OC，OD，OE，OF分别平分AOB，COB，AOC，EOC，若，则 .（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）5. 4点钟后，从时针到分针第二次成90角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）A. 60 B. 30 C. 40 D. 33（“五羊杯”竞赛试题）6. 如图是一个33的正方形，则图中的和等于（ ）A. 270 B. 315 C. 360 D. 405（广西省竞赛试题）7. 已知，OM，ON，OP分别是AOB，BOC，AOC的平分线，则下列各式中成立的是（ ）A. B. C. D.以上情况都有可能8. 如图，AOC是直角，且O
9、B，OD分别是AOC，BOE的平分线，则AOE等于（ ）A. 111.5 B. 138 C. 134.5 D. 178 （五城市联赛试题）9. 如图，在直线AB上取一点O，在AB同侧引射线OC，OD，OE，OF，使COE和BOE互余，射线OF和OD分别平分COE和BOE. 求证：.10. 如图，A1OA11是一个平角，. 求的度数. （山东省竞赛试题）11. 在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，OAB的面积第一次达到最大？（“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）专题23 与角相关的问题例145 提示：如图，通过拼补
10、得1+2=45.例2B提示：（90）+=90符合；（90）+=+90=18090=90符合；符合.故能表示的余角.13OM、ON平分AOC，BOC，AOM=COM=，CON=BON=（1）如图，若OC在AOB内，设BOC=x，则 图 图 图例6 （1），且与互为相反数。 且。，即， （2）有两种情况，如图 当在上时， ；当在的延长线上时， ，综上可 知，（3） 作图如图，结论正确，设，则， ，当然对于我们也不难找出其值不为 定值的原因。，变化，其值也变化 A级1 或 提示：当，在点两侧时，；当，在同一侧 时，2 203 41.6 提示：所有线段长度总和为AOC80x，MONMOCNOC40（2
11、）如图，若OC在AOB内，设BOCx，则AOC80xMONMOCNOC40（3）如图，若OC在AOB内，设BOCx，则 AOC280xMONMOCNOC140（4）如图，若OC在AOB内，设BOCx，则AOCx80MONNOCMOC40综上所述：MON40或 140例4 x 提示：显然x的值大于1小于2， 依题意得6x360(x1)360(x1)0. 5x例5 提示：设“模板”角度为，假设可由k个角与t个 180角画出1的角来，即k，t满足等式k180t1（1）当19时，取k19，t2，即用模板连续画出19个19的角，得到361的角，去掉360的周角， 即得1的角（2）当17时，即17k一18
12、0t1，此时，k53，t5是一组解，即用模板连续画53个17的角，得到901的角，除去两个周角和一个平角，即得1的角（3）当21时，即21k180t1无整数解，不能用21的模板与铅笔画出1的角例6 (1) BOC180AOC18030150又QE 平分BOC，COEBOC75， DOE907515（2）DOE90（3）AOC1802COE1802(90DOE)2DOE；设DOEx，AOFy则 AOC4AOF2DOE4AOF2x4y2BOEAOF2COEAOF2 ( 90DOE) AOF2 ( 90一 x )y180一2xy故 2x4y1802x y，即 4x5y180所以 4DOE5AOF18
13、0A级172210 450 提示：一共有10个角，其中AOE90， BOD45，AOB十BOE90，AOCCOE90，AODDOE90，BOCCOD45故这10个角的度数和为9044523609045033046 提示：AOC 和BOC，AOD 和BOD，AOE和BOE，AOE 和DOE ，AOE和COD，AOD 和COE5B 6A 7C 8B9114 提示：设AOCx，是BOC2x，AOD(x)，COD(x)，AOBAOCBOC11410设AODBODx，则BOC1802x又BOEEOC，BOEBOC(1802x)又BODBOEDOE72，x(1802x)72，解得x36则EOCBOC(18
14、02x)7211（1）如图，若 OD在AOB 内时，AOCBOCAOB40，COEDOECOD30，AOEAOCCOE70（2）如图，若OD在AOB内时，同理，AOC40，OOE30，AOEAOCCOE10综上所述：AOE70或1012（1）共有：432l10 个角 （2）AOE80 （3）所有锐角度数和为：416B级150 2345 315464 提示：设EOFCOFx，则AOE2xBOCAOC2xxx4x，CODBODBOC2x，又FODFOCCODx2x3x24，x80，AOB8x645D6D 沿AB对折，上下图形能够完全重合，则194826907B 8D9提示：COEBOE90，DOF45，AOFBOD13510由题中条件知A3OA2A2OA12，A4OA3A3OA22 ，A5OA4A4OA32， A11OA10A10OA92，以上9个等式相加得A11OA10A2 OA1 9218.即A11OA10A2OA118由题设知，A1OA11A2OA1A3OA2 A4OA3A11OA10(A2OA1A11OA10)10180A2OA1A11OA1036，A11OA102711经过x秒时，OA与OB第一次垂直由(60. 1)x90得x15