1、2.4 二次函数与幂函数第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)(a0)；(2)顶点式：f(x)(a0)；(3)零点式：f(x)(a0)2二次函数的图象与性质二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x；(2)顶点坐标：；(3)开口方向：a0 时，开口，a0 时，开口；(4)值域：a0 时，y，a0 时，y；(5)单调性：a0 时，f(x)在上是减函数，在上是增函数；a0时，f(x)在，b2a 上是，在 b2a，上是_3二次函数、二次方
2、程、二次不等式三者之间的关系 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程 ax2bxc0 的，也是一元二次不等式ax2bxc0(或 ax2bxc0)解集的4二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值它只能在区间的或二次函数的处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值5一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设 x1，x2 是实系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两实根，则 x1，x2 的分布范围与系数之间的关系如表所示根的分布(mnp 且 m，n，p 均为常数)图象满足的条件x1x2m 0，b2a0.mx1x2 0，
3、b2am，f（m）0.x1mx2f(m)0，m b2a0，f（n）0.mx1nx2pf（m）0，f（n）0.mx1x2n 0，m b2an.只有一根在区间(m，n)内 f(m)f(n)0.6.幂函数(1)定义：形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数图象性质定义域值域奇偶性单调性公共点yxRR_函数在 R 上单调递增_yx2R_函数在_上单调递减；在_上单调递增yx3RR_函数在 R 上单调递增yx12_函数在_上单调递增yx1_函数在_和_上单调递减自查自纠1(1)ax2bxc(2)a(xh)2k(3)a(xx1)(xx2)2(1
4、)b2a(2)b2a，4acb24a(3)向上 向下(4)4acb24a，4acb24a(5)，b2a b2a，增函数 减函数3根 端点值 4端点 顶点6x|x0 x|x0 y|y0 y|y0y|y0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇(，00，)0，)(，0)(0，)(1，1)1.若二次函数 y2x2bxc 的图象关于 y 轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为()A.y2x2x3B.y2x23 C.y2x2x3D.y2x23 解：由题可知函数 yf(x)为偶函数，则 b0.又图象过点(0，3)，则 c3，故解析式为 y2x23.故选 B.2.已知 a243，b323，c2513，则()A.bac
5、B.abc C.bcaD.caab.故选 A.3.(上海嘉定区 2020 届高三上期中)已知函数 f(x)x24x(xm，5)的值域是5，4，则实数 m 的取值范围是()A.(，1)B.(1，2 C.1，2 D.2，5)解：二次函数 f(x)x24x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为 4，且在 x2 时取得，而当 x5 或1 时，f(x)5，结合图象可知 m 的取值范围是1，2故选 C.4.(2019 年江苏卷)函数 y 76xx2的定义域是_.解：由已知得 76xx20，即 x26x70，解得1x7，故函数的定义域为1，7故填1，7 5.若方程 x211x30a0 的两个不等实根均大于 5
6、，则实数 a 的取值范围是_.解：令 f(x)x211x30a.对称轴 x112，故只要0，f（5）0即可，解得 02x的解集为(1，3).若方程 f(x)6a0 有两个相等的根，则 f(x)的解析式为_.解：因为 f(x)2x0 的解集为(1，3)，设 f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0，所以 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.则方程 f(x)6a0，即 ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a9a0，解得 a1 或 a15.由于 a0，所以 a15，代入式得 f(x)15x265x35，即为所求 故填 f(x)15x265x35.评析
7、 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，方法如下：变式 1(1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式是 y_.解：设 ya(x2)21(a0)，当 x0 时，4a11，a12，所以 y12(x2)2112x22x1.故填12x22x1.(2)(2018武汉模拟)若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式 f(x)_.解：因为 f(x)的值域为(，4，所以 a0，b0，由 f(x)是偶函数知 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以a2ab 0，b2，所以 f(x)2x22a2，又 f(x)的值
8、域为(，4，所以 2a24，故 f(x)2x24.故填2x24.(3)已知二次函数 yf(x)的图象经过点(4，3)，它在 x轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)_.解：因为 f(2x)f(2x)对任意 xR 恒成立，所以 f(x)图象的对称轴为 x2.又因为 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，所以 f(x)0的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0)，又 f(x)的图象过点(4，3)，所以 3a3，a1，所以所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)，即 f(x)x24x3.故填 x24x3
9、.类型二 二次函数的图象与性质例 2(1)如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A(3，0)，对称轴为 x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A.B.C.D.解：因为图象与 x 轴交于两点，所以 b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为 x1，即 b2a1，2ab0，错误；结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为 x1 知，b2a，又函数图象开口向下，所以 a0，所以 5a2a，即 5ab，正确故选 B.评析 对于函数 f(x)ax2bxc，若是二次函数，就隐含 a0，当题目未说明是二次函数时，就要分 a0和 a
10、0 两种情况讨论.在二次函数 yax2bxc(a0)中，a 的正负决定抛物线开口的方向(a 的大小决定开口大小)，c 确定抛物线在 y 轴上的截距，b 与 a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).(2)若函数 f(x)x22ax3 在区间4，6上是单调函数，则实数 a 的取值范围为_.解：由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4，6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.故填(，64，)评析 二次函数的单调性由其图象开口方向及对称轴位置确定，故而若是二次项系数含参数，则往往还需要讨论其正负(开口方向).(3)若函数 f(x)x23x4 的定义域为0，
11、m，值域为254，4，则 m 的取值范围是_.解：函数 f(x)图象的对称轴为 x32，且 f 32 254，f(3)f(0)4，由二次函数的图象知 m 的取值范围为32，3.故填32，3.评析 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.(4)(2018辽宁期末)已知函数 f(x)x22ax1a 在区间0，1上的最大值为 2，则 a 的值为()A.2B.1 或3 C.2 或3D.1 或 2解：函数 f(x)x22ax1a 图象的对称轴为直线 xa，开口向
12、下 当 a0 时，f(x)在区间0，1上是减函数，所以 f(x)maxf(0)1a，由 1a2，得 a1；当 0a1 时，f(x)在区间0，a上是增函数，在a，1上是减函数，所以 f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由 a2a12，解得 a1 52或 a1 52，因为 01 时，f(x)在区间0，1上是增函数，所以 f(x)maxf(1)12a1a2，所以 a2.综上可知，a1 或 a2.故选 D.评析 二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.要注意数形结合思想的应用，尤其是
13、给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.变式 2(1)已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则()A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以 f(x)先减后增，所以 a0.故选 A.(2)(2018吉林期末)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()A.14，B.14，C.14，0D.14，0 解：当 a0 时，函数 f(x)2x3 为一次函数，在(，4)上单调递增；当 a0 时，依题意知，a0 且对称轴1a4，解得a14，又 a0，故14a0
14、.综上，14a0.故选 D.(3)若函数 f(x)x22x1 在区间a，a2上的最小值为 4，则 a 的取值集合为()A.3，3B.1，3C.3，3D.1，3，3解：函数 f(x)x22x1(x1)2，其图象的对称轴方程为 x1.因为 f(x)在区间a，a2上的最小值为 4，令 x22x14x1 或 3.令 a21 或 a3，得 a3 或 3，故 a 的取值集合为3，3故选 C.(4)(陕西省安康市 20192020 学年高一上期中)定义在R 上的偶函数 f(x)满足：当 x(，0时，f(x)x2mx1.()当 x0 时，f(x)的解析式为_；()若函数 f(x)在区间2，4上的最大值为 4，
15、则 m 的值为_.解：()当 x0 时，x0，f(x)x2mx1.因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)x2mx1(x0)()当m22，即 m4 时，f(x)在2，4上递减，所以 f(2)42m14，m92，不符合；当 2m24，即8m4 时，m24 14，m2 5，此时 m2 5；当m24，即 m8 时，f(x)在2，4上递增，所以 f(4)164m14，m214，不符合 综上可得 m2 5.故填x2mx1；2 5.类型三 二次方程根的分布例 3 已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围
16、；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围.解：(1)条件说明抛物线 f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，作出函数 f(x)的大致图象，得 f（0）2m10，f（1）4m20m12，mR，m56.所以56m0，f（1）4m20，（2m）24（2m1）0，0m12，m12，m1 2或m1 2，1m0.所以12m1 2.故 m 的取值范围为m|12m1 2.评析 对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：根的个数问题，由判别式判断；正负根问题，由判别式及韦达定理判断；根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点
17、函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”).变式 3(1)如果方程(1m2)x22mx10 的两个根一个小于零，另一个大于 1，则 m 的取值范围为_.解：令 f(x)(1m2)x22mx1，因为 f(0)1，所以 f(x)图象过定点(0，1)，所以1m20，f（1）0，解得1m0，f（1）0，即42bc0，1bc0，作可行域如图中阴影部分所示，A(2，0)，B(1，0)，C(3，2)，而 f(3)93bc，令 93bcz，c3b9z，平移直线知过 C 点可得 zf(3)12，故 f(3)的取值范围是(12，20)故选 C.类型四 二次函数的综合应用例 4(1)已知函数 f(x)(xR)满足 f
18、(x)f(2x)，若函数 y|x22x3|与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i1mxi()A.0B.mC.2mD.4m解：由 f(x)f(2x)知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称又 y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线 x1对称，所以这两函数的交点也关于直线 x1 对称 不妨设 x1x2xm，则x1xm21，即 x1xm2，同理有 x2xm12，x3xm22，又i1mxixm+xm1+x1，所以 2i1mxi（x1xm）+（x2xm1）+（xm+x1）2m，所以i1mxim.故选 B.(2)已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x
19、3 在 x1，1上恒小于零，则实数 a 的取值范围是_.解：2ax22x30 在1，1上恒成立当 x0 时，30，成立；当 x0 时，a321x13216，因为1x(，11，)，当 x1 时，右边取最小值12，所以 a0(a0)恒成立的充要条件为a0，0，f(x)1，b24b31，所以 b24b20，解得 2 2b2 2.故选 D.(2)已知 f(x)x22(a2)x4，如果对 x3，1，f(x)0恒成立，则实数 a 的取值范围为_.解：因为 f(x)x22(a2)x4，对称轴 x(a2)，对 x3，1，f(x)0 恒成立，所以讨论对称轴与区间3，1的位置关系得：（a2）3，f（3）0，或3（
20、a2）1，0，或（a2）1，f（1）0，解得 a或 1a4 或12a1，所以 a 的取值范围为12，4.故填12，4.(3)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)2x.若对任意的 xa，a2，不等式 f(xa)f(x)2 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.解：由题知函数 f(x)2|x|，故 f(xa)f(x)2，即 2|xa|(2|x|)222|x|，即|xa|2|x|，即 3x22axa20 对任意的 xa，a2恒成立令 g(x)3x22axa2，则只要 g(a)0 且 g(a2)0 即可g(a)0，满足要求，g(a2)3(a2)22a(a2)a28a120，即
21、a32.故填，32.类型五 幂函数的图象和性质例 5(1)已知幂函数 f(x)k2xa1 的图象过点12，22，则 ka()A.12B.32C.12或32D.2 解：因为 f(x)k2xa1 是幂函数，所以 k21，所以 k1.又 f(x)的图象过点12，22，所以 12a1 22，所以 a112，所以 a12，所以ka11232或12.故选 C.(2)(2018湖北黄冈中学质检)幂函数 yx1，yxm 与yxn 在第一象限内的图象如图所示，则()A.1m0n1B.1n1mC.1m0nD.1n0m1解：在第一象限作出幂函数 yx，yx0 的图象，在 x(0，1)内作直线 xx0 与各图象有交点
22、，如图，由“指大、图低”，知1n0m(m2m1)12，则实数 m 的取值范围是()A.，512B.512，C.(1，2)D.512，2解：因为函数 yx12的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m10，m2m10，2m1m2m1.解得m12，m 512或m 512，1m2，即 512m2.故选 D.评析 可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；的正负：当 0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当 0，即 m22m30，解得3m1.又 mZ，所以 m2，1，0.当 m2 时，m22m33，不合题意；当 m1 时，m22m34，符合题意；当 m0 时，m2
23、2m33，不合题意所以 f(x)x4，所以 f(2)2416.故填 16.(2)幂函数 yxm 4m(mZ)的图象如图所示，则 m 的值为()A.0B.1C.2D.3解：因为 yxm 4m(mZ)的图象不过原点，所以 m24m0，即 0m4.又因为函数的图象关于 y 轴对称且mZ，所以 m24m 为偶数，因此 m2.故选 C.(3)已知幂函数 f(x)x12，若 f(a1)f(102a)，则 a 的取值范围是_.解：因为 f(x)x12 1x(x0)，易知 x(0，)时为减函数，又 f(a1)f(102a)，所以a10，102a0，a1102a，所以 3a5.故填(3，5)1.求二次函数的解析
24、式 利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式，一般规律是：(1)已知三个点的坐标时，常用一般式.(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式.(3)若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横坐标已知时，常选用零点式.2.含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域 二次函数在区间m，n上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的).无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴.对于
25、动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已.3.二次函数的综合应用 解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f(x)ax2bxc(a0)的结构特点和 a，b，c 的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程 x22py 理解 a 的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如 f(0)c，f(1)abc，f(1)abc 等.4.幂函数的定义、图象和性质(1)判断一个函数是否为幂函数，一定要根据幂函数定义给出的“标准”形式 yx(R).(2)幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线 x2 或 x12的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，图象越远离 x轴(不包括幂函数 yx0).(3)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性.函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.