1、第4讲 万有引力与航天 高考成功方案第1步 高考成功方案第2步 高考成功方案第3步 每课一得 每课一测 第四章 回扣一 万有引力定律及其应用1一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇船员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的()A0.25倍 B0.5倍C2.0倍D4.0倍解析：F 引GMmr212GM0m12r02 2GM0mr22F 地，故 C 项正确。答案：C2如图441所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球的万有图441引力大小为_。解析：计算万有引力时，距离
2、指的是两球心间的距离，则万有引力 FGm1m2r1r2r2。答案：Gm1m2r1r2r2回扣二 三种宇宙速度3第一宇宙速度是人造地球卫星在_的绕行速度，是人造卫星的_环绕速度，也是人造卫星的_发射速度，它的大小是_ km/s。第二宇宙速度的大小是_ km/s，是使物体挣脱_引力束缚的最小发射速度。第三宇宙速度的大小是16.7 km/s，是使物体挣脱_引力束缚的最小发射速度。答案：地面附近 最大 最小 7.9 11.2 地球 太阳4近地卫星线速度为 7.9 km/s，已知月球质量是地球质量的 181，地球半径是月球半径的 3.8 倍，则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为多少？解析：由GMmR
3、2 mv2R得 vGMR，则有v地v月M地M月R月R地，即 v 月M月R地M地R月v 地1813.87.9 km/s1.7 km/s。答案：1.7 km/s回扣三 经典时空观和相对论时空观5下面说法正确的是()A在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变，在狭义相对论中，物体的质量也不随运动状态而改变B在经典力学中，物体的质量随物体运动速度增大而减小，在狭义相对论中，物体的质量随物体运动速度的增大而增大C在经典力学中，物体的质量是不变的，在狭义相对论中，物体的质量随物体速度增大而增大D上述说法都是错误的解析：在经典力学中，物体的质量是不变的，根据狭义相对论可知，物体的质量随物体速度的增大而增大
4、，二者在速度远小于光速时是统一的，故选项C正确。答案：C6在经典力学中，同一过程的位移和时间的测量在不同参考系中是_。在狭义相对论中，同一过程的位移和时间的测量在不同参考系中是_。答案：相同的 不同的知识必会1解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即GMmr2 ma 向mv2r2m2rm42rT2(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 GMmR2 mg0(g0 表示天体表面的重力加速度)。名师点睛(1)在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g0时，常运用GMg0R2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来。由于这种代
5、换的作用巨大，此式通常称为黄金代换式。(2)利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：在行星表面重力加速度：GMmR2 mg0，所以 g0GMR2在离地面高为 h 的轨道处重力加速度：G MmRh2mgh，所以 ghGMRh2。2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。由于 GMmR2 mg，故天体质量 MgR2G，天体密度 MV M43R3 3g4GR。(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T，轨道半径 r。由万有引力等于向心力，即 GMmr2 m42T2 r，得出中心天体质量 M42r3GT2；若已知天体的半径 R，则天体的平均密度MV M
6、43R3 3r3GT2R3；若天体的卫星在天体表面的附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 3GT2。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。名师点睛(1)要注意卫星的轨道半径与中心天体半径的关系，只有近地卫星的轨道半径才等于天体的半径。(2)要注意万有引力与向心力的关系，只有当把天体运动看成匀速圆周运动时，两者才相等。典例必研例1 已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，某行星的同步卫星轨道半径约为该行星半径的3倍，该行星的自转周期约为地球自转周期的一半，那么该行星的平均密度与地球平均密度之比约为()A1/3 B1/4C1/
7、5 D1/6思路点拨 利用万有引力提供向心力的周期表达式表达出天体的质量，再结合体积表达式求解出密度，然后利用题目中的已知条件求解出天体的密度之比。解析 设中心天体的质量为 M，卫星的轨道半径为 r，卫星的周期为 T，由 GMmr2 m(2T)2r 得，M42r3GT2，设中心天体的半径为 R，体积 V4R33，由密度公式 MV得，3r3GT2R3。设该行星密度为 1，行星的半径为 R1，行星同步卫星的周期为 T1；地球的密度为 2，半径为 R2，地球同步卫星的周期为 T2，则 133R13GT12R13 81GT12，237R23GT22R231 029GT22，而 T1T212，故 121
8、3，故选项 A 正确。答案：A冲关必试1代号“581c”的行星距离地球约190万亿公里，正围绕一颗体积比太阳小、温度比太阳低的红矮星运行。现已测出它的质量约是地球的5倍，其直径约为地球的1.5倍。则该行星表面重力加速度与地球表面重力加速度之比约为()A11 B21C31D41解析：由星球表面重力加速度公式 gGMR2可知，gG 5M地1.5R地22g 地，故选 B。答案：B2如图442所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空图442离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，
9、则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是()AM42Rh3Gt2，3Rh3Gt2R3BM42Rh2Gt2，3Rh2Gt2R3CM42t2Rh3Gn2，3t2Rh3Gn2R3DM42n2Rh3Gt2，3n2Rh3Gt2R3解析：设“卡西尼”号的质量为 m，土星的质量为 M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G MmRh2m(Rh)(2T)2，其中 Ttn，解得M42n2Rh3Gt2。又土星体积 V43R3，所以 MV3n2Rh3Gt2R3。答案：D知识必会1卫星的动力学规律由万有引力提供向心力 GMmr2 ma向mv2r m2rm42rT22卫星的各物理量随
10、轨道半径变化的规律规律GMmr2 rR地hmv2r vGMr v 1rm2rGMr3 1r3m42T2 rT42r3GM T r3maaGMr2 a1r2越高越慢mgGMmR地2 近地时GMgR地23卫星的环绕速度和发射速度近地卫星的最大环绕速度 vGMR gR7.9 km/s。通常称为第一宇宙速度，也是人造卫星的最小发射速度。不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上的运行速度 vGMr，其大小随半径的增大而减小。但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即 v 发射v 环绕。4人造地球卫星的超重和失重(1)人造地球卫星
11、在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动。这两个过程中加速度方向均向上，因而都是超重状态。(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态。在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生。因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用。同理，与重力有关的实验也将无法进行。名师点睛(1)卫星的 a、v、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其他量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定。(2)以第一宇宙速度绕行的卫星，轨道半径最小，周期最小，可以由 T2Rv(R 为地球半径，v 为第一宇宙速度)运算
12、得到大约为 85 分钟。典例必研例2 科学家认为火星是太阳系内除地球以外最有可能存在生命的星球。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，火星质量是地球质量的0.1倍，火星的半径是地球半径的0.5倍。假设火星是个均匀的球体，且不考虑火星表面大气阻力的影响，请推导并利用以上字母表达：(1)火星表面的重力加速度g0；(2)火星探测器能够环绕火星做匀速圆周运动的最大速度vm；(3)火星探测器能够围绕火星做匀速圆周运动的最小周期T0。审题指导 火星探测器贴近火星绕行时速度最大，绕行的最大速度和最小周期是对应的。解析 已知 M火M地0.1，R火R 0.5(1)对于质量为 m 的物体，在火星和地球表面分别
13、有：火星表面：GM火mR火2 mg0地球表面：GM地mR2 mg联立解上四式得g0M火M地(RR火)2g0.1 10.52g0.4g。(2)设火星探测器质量为 m，探测器近火星地表环绕时速度最大。则有：GM火mR火2 mvm2R火解得 vmGM火R火15 5Rg。(3)探测器最小周期为：T02R火vm g 5Rg。答案(1)g00.4g(2)vm15 5gR(3)T0g 5gR冲关必试3双选2011年11月3日凌晨1时36分，在轨运行30圈的“神舟八号”飞船和在轨运行541圈的“天宫一号”目标飞行器，在距离地面高度343公里的轨道上成功实施了首次交会对接，在交会对接前，“天宫图443一号”在高
14、度约为350公里的近圆轨道上绕行，如图443所示，若它们绕地球的运行均可视为匀速圆周运动，如图所示，关于对接前的下列分析正确的是()A“神舟八号”的绕行周期比“天宫一号”更长B“神舟八号”的绕行速度比“天宫一号”更大C“神舟八号”的向心加速度比“天宫一号”更大D“神舟八号”运行时角速度比“天宫一号”更小解析：设“神舟八号”和“天宫一号”的运动半径分别为r1 和 r2，万有引力提供向心力，由 GMmr2 mamv2r mr42T2可得周期之比T1T2r13r23，A 项错；线速度之比v1v2r2r1，B 项正确；向心加速度之比a1a2r22r12，C 项正确；角速度之比12T2T1，D 项错。答
15、案：BC4“神舟七号”载人航天飞行获得了圆满成功，我国航天员首次成功实施空间出舱活动，实现了我国空间技术发展的重大跨越。已知飞船在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。飞船在该圆轨道上运行时，求：(1)速度v的大小和周期T；(2)速度v的大小与第一宇宙速度v1的大小之比值。解析：(1)用 M 表示地球质量，m 表示飞船质量，由万有引力定律和牛顿定律得G MmRh2m v2Rh 地球表面质量为 m0 的物体，有GMm0R2 m0g解得飞船在圆轨道上运行时速度 vRgRh飞船在圆轨道上运行的周期T2Rhv2RhRRhg(2)第一宇宙速度 v1 满足 mv
16、12R mg因此飞船在圆轨道上运行时速度的大小与第一宇宙速度的大小之比值为vv1RRh答案：(1)RgRh 2RhRRhg(2)RRh知识必会1卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。地球同步卫星的特点：a周期一定：与地球自转周期相同，即T24 h86 400 s。b角速度一定：与地球自转的角速度相同。c高度一定：据 GMmr2 m42T2 r 得 r3 GMT242 4.24 104 km，卫星离地面高度 hrR6R(为恒量)。d速度一定：运动速度 v2r/T3.07 km/s(为恒量)。e绕行方向一定：与地球自转的方向一致。(2)极地轨道：卫星的轨道过南北
17、两极，即在垂直于赤道的平面内。如定位卫星系统中的卫星轨道。(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道。2卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)圆轨道上的稳定运行：若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将保持匀速圆周运动，即 GMmr2 mv2r mr2mr(2T)2(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行。当 v 增大时，所需向心力 mv2r 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由 vGMr 知其运行速度要减小，但重力势能、机
18、械能均增加。当卫星的速度突然减小时，向心力mv2r 减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新的轨道运行时，由vGMr 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)。名师点睛(1)所有卫星的轨道圆心一定在地心。(2)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；在稳定轨道上运行的速度变化由 vGMr进行判断。典例必研例3 双选(2012东莞中学二模)在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道。则()图444A该卫星的发射速
19、度必定大于11.2 km/sB卫星在同步轨道上的运行速度大于7.9 km/sC在轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度D卫星在Q点通过加速实现由轨道进入轨道解析 发射速度大于第一宇宙速度即可，由 GMmr2 mv2r 得 vGMr，知轨道半径越大，线速度越小，A、B 错误；在轨道上，从 P 点到 Q 点，卫星克服引力做功，速度减小，C 正确；变轨时卫星加速运动，在 Q 点从轨道进入轨道，D 正确。答案 CD冲关必试5(2011全国高考)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最
20、后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比()A卫星动能增大，引力势能减小B卫星动能增大，引力势能增大C卫星动能减小，引力势能减小D卫星动能减小，引力势能增大解析：依题意可将“嫦娥一号”的运动视为圆周运动，且质量变化可忽略不计，则变轨后，轨道更高，由卫星运动规律可知高轨道速度小，故变轨后动能就小，排除A、B选项；卫星发射越高，需要更多能量，由能量守恒定律可知高轨道的卫星能量大，因此高轨道势能一定大，D对。答案：D6我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图445所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近
21、月点B处与空间站对接。已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R。下列判断错误的是()图445A航天飞机到达 B 处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速B图中的航天飞机正在加速飞向 B 处C月球的质量 M42r3GT2D月球的第一宇宙速度 v2rT解析：航天飞机到达 B 处时速度比较大，如果不减速此时万有引力不足以提供向心力，这时航天飞机将做离心运动，故A 正确；因为航天飞机越接近月球，受到的万有引力越大，加速度越大，所以正在加速飞向 B 处，故 B 正确；由万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则 GMmr2 m42rT2，整理得 M42r3GT2，故 C 正确；速度
22、v2rT 是空间站在轨道 r 上的线速度，而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度，故 D 错误。答案：D每课一得双星系统的特点：(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等；(2)两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1r2L。示例 神奇的“黑洞”是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探索“黑洞”的方案之一是观测双星系统的运行规律。天文学家在观测河外星系大麦哲伦星云时发现LMCX3 图446双星系统，它有可见星A和不可见的暗星B组成。A、B两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕着连
23、线上一点O做匀速圆周运动，由A、B两星间的万有引力提供它们做匀速圆周运动的向心力，已知它们间的距离保持不变，如图446所示。引力常量为G，观测到可见星A的运行速度为v、运行周期为T，已知B的质量M，求A的质量。模型构建 本题属天体运动的“双星模型”，侧重于万有引力定律和圆周运动知识的应用，分析时注意双星的向心力关系、半径关系、角速度关系、周期关系等“双星模型”的突出特点。解析 设 AB、OA、OB 间距分别为 r、r1、r2，A 的质量为m，有 rr1r2 由 B 对 A 的万有引力提供 A 做圆周运动的向心力有GMmr2 mv2r1 又根据速度、周期关系式有：v2T r1 A、B 两星绕 O 做圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，且角速度 相同有：m2r1M2r2，即 mr1Mr2 联立得：rMmMr1 代入可得：GM(MMm)2v2r1 联立得：m2GM3Tv3 M。答案 2GM3Tv3 M 点击此图片进入“每课一测”