1、数学知识点总结二次函数知识点：1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系. 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的五要素：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点. 决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同；越大，开口越小。平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，
2、轴记作直线.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.抛物线与x轴有无交点的判定情况 抛物线与y轴的交点 ()用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：时，对称轴为轴；(即、同号)时,对称轴在轴左侧；(
3、即、异号)时,对称轴在轴右侧. （左同右异）(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选
4、用交点式：.12.直线与抛物线的交点(1)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(2)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.(3)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.(4)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 13二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况(2)二次函数的图象与
5、轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根14、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对
6、称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式15.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际
7、上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等重难点：二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。考点：二次函数在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考内容。中考的主要命题点为：（1）求二次函数的关系式（2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二次函数的最
8、大（小）值（4）抛物线（a0）与a,b,c的符号（5）二次函数与一元二次方程（6）二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题，还有探究题和开放题。有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识、三角函数等知识综合在一起的综合题、探究题和开放题。圆的基本性质知识点：1.圆的有关概念（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。2.圆周角与圆心角（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是圆的直径。（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周
9、角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。3.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。4.弧长及扇形的面积弧长公式：圆弧是圆的一部
10、分，若将圆周分为360份，1的圆心角所对的弧是圆周长的，因为半径为r的圆周长是2r，所以n的圆心角所对的弧长的计算公式为（其中，为弧长，n为弧所对的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）扇形的面积公式：1扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，如图，和半径OA、OB所组成的图形是一个扇形，读作扇形OAB2扇形的周长扇形的周长等于弧长与两半径的长之和，即3扇形是圆面的一部分，若将半径为r的圆分为360份，圆心角1的扇形面积是圆面积的，因为半径为r的圆的面积是，所以半径为r，圆心角为n的扇形面积为4弧长为，半径为r的扇形面积为5扇形面积的应用（求圆的一部分的面积）：5.圆锥的
11、侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2r，根据扇形面积公式可知S2rlrl因此圆锥的侧面积为S侧rl圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全=r2+rl重点：1.弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。2.用尺规作图法对不在同一直线上的三个点作圆。3.垂径定理。（重中之重：“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考）4.扇形弧长和面积、圆锥侧面积和体积的计算。难点：1.对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解2. 圆锥侧面积计算公式的推
12、导过程需要较强的空间想像能力3. 类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。4.有关圆的无图多解问题。考点：1 垂直于弦的直径2 圆周角定理及其推论3 圆内接四边形4 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系5 圆的性质综合题相似三角形知识点：1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同
13、一比例式(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：3 比例的性质 基本性质：(1)；(2)注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，更比性质(交换比例的内项或外项)：反比性质(把比的前项、后项交换)：合比性质：注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如：等等等比性质：如果，那么注意：(1) 此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时
14、乘以一个数，再利用等比性质也成立如：；其中4 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边5 黄金分割把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中0.6186 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示
15、，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例7 相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：用数学语言表述是：，8 相似三角形的等价关系(1) 反身性：对于任一有 (2) 对称性：若，则
16、(3) 传递性：若，且，则9 三角形相似的判定方法1、 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似2、 平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角
17、形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BDDC，（2）（AB）2=BDBC ，（3）（AC）2=CDBC 。证明：在 BAD与ACD中，B+C=90，DAC+C=90，B=DAC，又BDA
18、=ADC=90，BADACD相似， AD/BDCD/AD，即（AD）2=BDDC。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BDBC+CDBC =（BD+CD)BC=（BC）2，即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。这就是勾股定理的结论。10 相似三角形性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3) 相似三角形周长的比等于相似比(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等11 相似多边形
19、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)12 相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3)相似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键13 与位似图形有关的概念 1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 拓展： （1） 位似图形是相似图
20、形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. 14 位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质.15 画位似图形 1. 画位似图形的一般步骤： （1） 确定位似中心 （2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 2. 位似中心的选取： （1） 位似中心可以
21、在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外. （2） 位似中心可取在多边形的一条边上. （3） 位似中心可取在多边形的某一顶点上. 说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.16 相似三角形常见的图形（1） 若DEBC（A型和X型）则ADEABC（2） 射影定理 若CD为RtABC斜边上的高（双直角图形） 则RtABCRtACDRtCBD且AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=BDAB； （3）满足1、AC2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）当或ADAB=ACAE时，ADE
22、ACB （3） （4）重点：相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质难点：相似三角形性质的应用考点：图形的相似是平面几何中极为重要的内容。中考的主要命题点为：（1） 比例的性质和黄金分割（2） 相似三角形的定义及相似三角形的判定（3） 相似三角形的性质及其应用（4） 相似多边形的定义和性质（5） 位似图形及其作图等。题型主要为选择题、填空题、解答题等，选择题、填空题将注重“相似三角的判定与性质”等基础知识的考查，将在解答题中加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力度。解直角三角形知识点：一、 锐角三角函数的定义：在中，C=90，、分别是A、B、C的对边，则： 常用变形：；等，由同学们自行归纳。
23、二、 锐角三角函数的有关性质：1、 当0A90时，； 2、 在090之间，正弦、正切（、）的值，随角度的增大而增大；余弦（）的值，随角度的增大而减小。三、 同角三角函数的关系： 常用变形： （用定义证明，易得，同学自行完成）四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图1，由定义可得： 同理可得： 五、 特殊角的三角函数值：三角函数3045160六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型已知条件解法两边两直角边、，直角边 ，斜边，一边一锐角直角边，锐角A，斜边，锐角A，重点：一、三角函数1 特殊角的三角函数值：030456090sincostg /2 互余两角的三角函数关系：sin(90-)
24、=cos;3 三角函数值随角度变化的关系二、解直角三角形1 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。2 依据：边的关系：角的关系：A+B=90边角关系：三角函数的定义。 注意：尽量避免使用中间数据和除法。三、对实际问题的处理仰角俯角北东西南hlii=h/l=tg1 俯、仰角： 2方位角、象限角： 3坡度：4在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。难点：1、 锐角三角函数的概念2、 直角三角形的解法3、 三角函数在解直角三角形中的灵活运用考点：1中考重点考查正弦、余弦的基本概念和求特殊角的三角函数值，及利用正弦和余弦解决一些比较简单的直角三角形问题2中
25、考侧重考查求特殊角的正切值、余切值，利用正切求线段的长以及综合应用三角函数解决测量问题3考查三角形的边角关系是中考常见题型，解决此类问题的方法是将一般图形转化为解直角三角形的知识来解决。有时需要添加辅助线4中考中的三角函数与圆的综合题是热点题型解决这类问题的方法是利用勾股定理、锐角三角函数关系式5中考解直角三角形应用问题大多是以计算题的形式出现也是中考的热点题型直线与圆，圆与圆的位置关系知识点：1. 直线与圆有三种位置关系（1） 相交 直线与圆有两个公共点时，我们说直线与圆相交。（2） 相切 直线与圆有唯一的公共点时，我们说直线与圆相切。这条直线叫圆的切线，公共点叫切点。（3） 相离直线与圆没
26、有公共点时，我们说直线与圆相离。（4） 一般地，直线与圆的位置关系有下面的性质： 若圆的半径为，圆心到直线的距离为，那么直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离2. 切线的判定与性质（1） 判定定理 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。（2） 性质定理 经过切点的半径垂直于圆的切线。 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。即如图，AB、AC切圆O于B、C，切线长AB=AC。 4. 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数（与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做
27、弦切角。）5.1三角形的内切圆1 定义 与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心叫三角形的内心，三角形叫圆的外切三角形。2. 内心性质 内心是三角形角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等。5.2圆与圆的位置关系1. 相切（1） 两圆有唯一的公共点时，我们说两圆相切，公共点叫切点。 相切可分为外切与内切 外切：两圆相切，除切点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们说两圆外切。 内切：两圆相切，除切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，我们说两圆内切。（2） 两圆相切有下面的性质： 若两圆相切，那么切点一定在连心线上。 设两个圆的半径为和（），圆心距为，则： 两圆外切 两圆内切2. 相交（
28、1） 两圆有两个公共点时，我们说两圆相交。（2） 性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。3. 相离（1） 两圆没有公共点时，我们说两圆相离。相离可以分为外离与内含。 外离：一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们说两圆外离。 内含：一个圆上的点都在另一个圆的内部，我们说两圆内含。（2） 两圆相离有下面的性质：设两个圆的半径为和，圆心距为，则： 两圆相交 两圆外离 两圆内含圆幂定理1、相交线定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（图一）2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。（图二）3、割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PAPB=PCPD（图三） 图三 图二PAPB=PCPD图一重点：1.直线与圆、圆与圆位置关系、性质及其判定方法。 2.切线的判定和性质。 3三角形内心的定义及性质。难点： 直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用。考点： 本章内容是中考的必考内容，主要考查直线与圆、圆与圆位置关系的判定及应用，切线的判定及性质，题型以填空，选择和解答为主，也有开放探索题的新的题型，分值一般在610分