1、12 任意角的三角函数 12.1 三角函数的定义 学习目标 1.理解任意角的余弦、正弦和正切的定义，了解任意角的余切、正割和余割的定义 2能判断三角函数在各象限内的符号 课前自主学案 温故夯基 1与角终边相同的角的集合为：_21弧度_|2k，kZ(180)57.305718360_rad 180_rad 1_rad3设扇形的半径为 r，弧长为 l，为其圆心角的弧度数则 l_，S 扇_2180r12lr12r2知新益能 1三角函数的定义和定义域在平面直角坐标系中，设 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距离是 r(r x2y20).三角函数定义定义域sinyrRcosxrRtan
2、yx|k2，kZsecrx|k2，kZcscry|k，kZcotxy|k，kZ思考感悟1若上述定义中r1，会影响其正确性吗？提示：不会，由P点的任意性可知r1时仍然正确2三角函数在各象限的符号(1)用图形表示：如图所示(2)用表格表示的终边 x轴正半轴 第一象限 y轴正半轴 第二象限 x轴负半轴 第三象限 y轴负半轴 第四象限 sin 0 0 cos 0 0 tan 0 不存在 0 不存在 思考感悟2三角函数在各象限的符号由什么来确定？提示：由三角函数定义可知三角函数在各象限的符号由角终边上任意一点的坐标来确定课堂互动讲练 考点突破 三角函数的定义及应用三角函数定义是学好三角函数的最基础工具，
3、利用定义解决问题是我们必须掌握的基本方法已知角的终边过点P(3a,4a)(a0)，求2sincos的值例1【思路点拨】【解】r 3a24a25|a|若 a0，则 r5a，角 在第二象限sinyr4a5a45，cosxr3a5a 35.2sincos85351若 a0.210360150，210是第二象限的角，cos(210)0.sin 145cos(210)0.133 653，133 是第四象限的角，tan(133)0.sin 157 tan(133)0，cos 20，tan 30.【点评】准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键变式训练 2 求
4、sin x|sin x|cos x|cos x|tan x|tan x|(x12k，kZ)的值解：因为 x12k，kZ，所以当 x 是第一象限的角时，sin x0，cos x0，tan x0，原式sin xsin xcos xcos xtan xtan x3.当 x 是第二象限的角时，sin x0，cos x0，tan x0，原式sin xsin x cos xcos x tan xtan x1.当 x 是第三象限的角时，sin x0，cos x0，原式 sin xsin x cos xcos xtan xtan x1.当 x 是第四象限的角时，sin x0，tan x0，原式 sin xsi
5、n xcos xcos x tan xtan x1.综上可知，sin x|sin x|cos x|cos x|tan x|tan x|的值为 3 或1.求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，需要注意的是，凡涉及到三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定有意义三角函数的定义域【思路点拨】在本例(1)中，找出使tanx成立的x的范围即可，在(2)中除了找出使tanx成立的x的范围，还应考虑分母不为0这个条件 例3 求下列函数的定义域：(1)ysinxtanx；(2)ysinxcosxtanx.【解】(1)要使函数有意义，必须使 s
6、inx 与 tanx有意义，所以有xRxk2kZ，所以函数 ysinxtanx 的定义域为x|xk2，kZ(2)要使函数有意义，必须使 tanx 有意义，且tanx0，所以有xk2kZxk，所以函数 ysinxcosxtanx的定义域为x|xk2，kZ【点评】求三角函数的定义域，应熟悉各三角函数在各个象限的符号，并要注意tanx本身的定义域 变式训练 3 求下列函数的定义域(1)y sinxtanx；(2)ylgsinx9x2.解：(1)sinxtanx0，sinx 与 tanx 同号或 sinxtanx0，故 x 是第一、四象限的角或终边在 x 轴上的角函数的定义域为x|2k2x2k2或 xk，kZ(2)由题意得sinx09x20，由 sinx 0，得 2k x 2k(k Z)，由 9x20，得3x3,由得 0 x3.故函数的定义域为x|0 x3方法感悟 1由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即实数角(其弧度数等于这个实数)三角函数值(实数)也就是说，三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数2角 的三角函数值的符号只与角 所在的象限有关，角 所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定3在确定三角函数定义域时要特别注意某些三角函数有意义的范围，特别是 tanx.