1、四川省棠湖中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分
2、析：为将复数所对应的点逆时针旋转得，选B.考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为2.设，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导得到函数的导函数，代入求值即可.【详解】因为，所以.故答案:B.【点睛】考查了常见函数的导函数的求法，较为基础.3.函数的单调减区间为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.【详解】，所以函
3、数的单调减区间为，故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.4.设是定义在R上的偶函数，则“”是“有且只有一个零点”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由，举反例说明有且只有一个零点不成立；再由有且只有一个零点，利用反证法及偶函数的性质证明成立. 利用充分条件与必要条件的定义得出判断.【详解】若，取，有三个零点，不能得到有且只有一个零点；若有且只有一个零点，由是偶函数，所以，所以有两个零点a,-a，与有且只有一个零点矛盾，所以a=0，成立. 由充分条件与必要条件的定义,
4、故选B.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，命题成立可以证明，命题不成立只要举出反例.5.下列各式中，最小值等于2的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：选项A，中当x,y同号时，满足题意，选项B，取不到等号，选项C，正切值符号不定，因此只能选择D，一正二定三相等这是均值不等式使用的注意点6.若角终边上的点在抛物线的准线上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，然后可以求出点的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角，利用诱导公式、特殊角的三角函数值求出的值.【详解】抛物线的准线方程为：，因为点在抛物线的准线上，所以，所以点在第二象限
5、内，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了三角函数定义、诱导公式、特殊角的三角函数值，求出抛物线的准线方程是解题的关键.7.若，且恒成立，则的最小值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】，a0，且x+y+2a2（x+y）恒成立，a2-1恒成立， 故选A8.直线与曲线有公共点，则满足的条件是（ ）A. B. C. D. 且【答案】A【解析】【分析】求出曲线C直角坐标方程，根据圆心到直线距离小于等于半径求解不等式即可得解.【详解】曲线，即，直线与曲线有公共点，即直线与曲线有公共点，圆心到直线距离小于等于半径，平方处理得：，解得：.故选：A【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，根
6、据直线与曲线有公共点求参数的取值范围，关键在于熟练掌握圆的几何性质.9.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A. 9B. 12C. 16D. 20【答案】A【解析】【分析】因为，所以利用不等式的性质，把不等式中的变量分离出来，变为，利用基本不等式求出的最小值，确定的取值范围，最后求出的最大值.【详解】因为，所以，（当且仅当时，取等号），要想不等式恒成立，只需，即最大值为，故本题选A.【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式、不等式恒成立问题，把变量分离出来，利用基本不等式是解题的关键.10.若是函数的极值点，则的极小值为()A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】求出函数的导
7、数，利用极值点，求出，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.【详解】函数，可得，因为是函数的极值点，可得，解得，可得，令，当或时，此时函数为单调增函数，当时，此时函数为单调减函数，所以当时函数取得极小值，此时极小值为，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.11.已
8、知是双曲线的右焦点，点在的右支上，坐标原点为，若，且，则的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为运用余弦定理可得，再由双曲线的定义可得，即为，运用离心率公式计算即可得到所求值【详解】设双曲线的左焦点为由题意可得，即有，即有，由双曲线的定义可得，即为，即有，可得故选D【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题12.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当时，原式等价于恒成立；当时，原式等价于恒成立；令，令，即，可知为
9、y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选C.考点：不等式恒成立问题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则_【答案】【解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值详解：计算=（0+1+3+5+6）=3，=（1+m+3m+5.6+7.4）=，这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，=13+1，解得m=.故填.点睛：本题考查了回归直线方
10、程过样本中心点的应用问题，属于基础题14.一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是_【答案】【解析】【分析】利用条件概率计算公式求解即可.【详解】基本事件全体男男，男女，女男，女女，记事件A为“有一个女孩”，则P(A)记事件B为“另一个是男孩”，则AB就是事件“一个男孩一个女孩”，P(AB)故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用条件概率的概率公式计算概率，属于中档题.15.如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线剪开，拼成如图所示的平行四边形，且中间的四边形为正方形.在平行
11、四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_【答案】【解析】【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，分别求出阴影部分的面积和平行四边形的面积，最后利用几何概型公式求出概率.【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为，在长方形中，故平行四边形的面积为，阴影部分的面积为，所以在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，求出平行四边形的面积是解题的关键.16.已知为抛物线：的焦点，曲线是以为圆心，为半径的圆，直线与曲线，从左至右依次相交于，则_【答案】【解析】【分析】由直线过焦点F，得|RS|SF|+，|PQ|PF|+ ，求出S，P的纵坐标
12、代入即可.【详解】 ，因为直线与曲线，从左至右依次相交于，所以， .由直线过抛物线：的焦点F，所以|RS|SF|+，|PQ|PF|+， = .故答案为【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（1）
13、应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2
14、）由频率分布直方图得；（3）利用22列联表求.试题解析：（1）由，所以应收集90位女生的样本数据 （2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75. （3）由（2）知，300位学生中有3000.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得有95的把握认为“该校
15、学生的平均体育运动时间与性别有关”点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和18.已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）若函数在时有极值，求表达式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）求出导函数，令导函数在0处的值为3，在2处的值为0，函数在1处的值为4，列出方程组求出a，b，c的值；（
16、2）令导函数f（x）在2，1上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出a的范围详解：（1）f（x）=3x2+2ax+b曲线y=f（x）在点P（0，f（0）处的切线方程为y=3x+1解得a=，b=3，c=1.(2)上恒成立 当时，解得 当时，解得，所以无解 当时，解得，所以无解综上. 点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0（不要掉了等号）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解（不要加上等号）19.如图，PO垂直圆O
17、所在的平面，AB是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦BC的中点，（1）证明：平面平面；（2）当四面体PABC的体积最大时，求B到平面PAC的距离【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由题意可知，根据圆的几何性质可知；由中位线定理可得，即可证明（2）根据题意可知当时，四面体PABC的体积最大，取线段AC的中点E，连接OE，PE，可由勾股定理求得，进而求得，再根据等体积法即可求得B到平面PAC的距离【详解】（1）证明：因为PO垂直圆O所在平面，所以. 是圆O的一条直径，则,即因为D为弦BC的中点，O为圆O的圆心，则所以. 因为，所以， 又，所以. （2）当时，四面体
18、PABC的体积最大， 此时. 取线段AC的中点E，连接OE，PE，则，从而. 设B到平面PAC的距离为h，由，得， 解得，即B到平面PAC的距离为.【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定，等体积法求点到平面的距离，属于基础题.20.在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，垂足为，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)过点(0，2)作直线与交于两点，(O为原点)，求三角形面积的最大值，并求此时的直线的方程【答案】（1） （2）最大面积为1，方程为 【解析】【分析】(1)利用代入法求曲线的方程.(2)先求出三角形面积的解析式和k的范围，再求其最大值和此时直线的方程.【详解】
19、（1）设M(x，y)是曲线C上任一点，因为PQx轴，M是PQ的中点，所以点P的坐标为(x，2y)因为点P在圆x2y24上，所以x2(2y)24.所以曲线C的方程是y21.(2当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx2，与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由得(14k2)x216kx120，由162k248(14k2)0，得k2.所以x1x2，x1x2.因为SOAB|OD|x1x2|x1x2|4.令4k23t，则4k2t3(由上可知t0)，SOANB44,当且仅当t4，即k2时取等号；所以当k时三角形OAB面积的最大值为1，此时直线l的方程
20、为yx2.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的计算和最值的求法，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程（）求函数的单调区间（）设函数，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围【答案】(1) 切线方程为;(2) .【解析】分析：（1）时，求出导数，求出切线斜率，从而得切线方程，整理成一般式即可；（2）求出导函数，由得或，按与1的大小分类讨论可得的单调区间；（3）恒成立可转化为，即，从而只要求得的最大值即可，利用导数即可得出.详解：（），在处切线方程为.（），令，即，解得或当时（即时），由得或，由得，的增
21、区间为， ，减区间为，当（即时），由得或，由得，增区间为， ，减区间为当，即时，在上恒成立，的增区间为无减区间综上， 时， 增区间为， ，减区间为，时， 增区间为， ，减区间为，时， 增区间为，无减区间（8分）（），有恒成立，则，即，令，当时， ，当时， ，所以在上单调递增，点睛：（1）函数的图象在处的切线方程为；（2）对可导函数，的解区间是的增区间，的解区间是的减区间；（3）利用导数处理不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题，其中分离参数法是重要的思想方法（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为
22、为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与轴的交点为，直线与曲线的交点为、，求的值【答案】（1）,；（2） .【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.（2）将直线的参数方程代入曲线，利用直线参数方程的几何意义算得.【详解】解：（1）由直线的参数方程，得普通方程为；由曲线的极坐标方程为，得，将代入上式可得：.所以曲线的直角坐标方程为；（2）将代入，得，即.设、对应的参数分别为、，则，.所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用直线参数方程的几何意义是解题的关键.23.已知函数.（1）求不等式解集；（2）若的最小值为，且，证明：.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】(1)分类讨论三种情况下的解集(2)先求出的最小值为，代入后运用基本不等式证明不等式成立【详解】（1）由，得，则或或，解得：，故不等式的解集为.（2）证明：因为 ，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式的用法，需要掌握此类题目的解法
