1、四川省江油市明镜中学高三数学第一轮复习单元测试（10）极限、导数编审：明镜中学高三数学备课组：冯成友，录入、校对：蒋大强一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确1（理）若复数满足方程，则（ ）A B C D (文)曲线y=4xx3在点(1,3)处的切线方程是（ ）Ay=7x+4 By=7x+2 Cy=x4 Dy=x22函数y=x2(x)图象上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角 的范围是（ ）A0, B0, C, D0,(,)3（理）若,则a的值为（ ）A0 B1 C1 D （文）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近
2、一点（1+x,2+y）,则为（ ）Ax+2 Bx2 Cx+2 D2+x4曲线y=x5+3x2+4x在x=1处的切线的倾斜角是（ ）A B C D5函数f(x)=x3ax2bx+a2在x=1时,有极值10,则a、b的值为（ ）A B C D以上皆错6（理）已知，下面结论正确的是（ ）A在处连续 B C D （文）设f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,则a的值等于A B C D7函数f(x)=x33x+1,x3,0的最大值、最小值分别是（ ）A1,1 B1,17 C3, 17 D9,198（理）数列an中，a1=1,Sn 是前n项和.当n2时，an=3Sn,则的值是（ ）A B2 C1
3、D （文）曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为（ ）Ay=3x4 By=3x+2 Cy=4x+3 Dy=4x59（理）2+2i的平方根是（ ）A+i Bi C+i D(+i) （文）已知f（x）=2x36x2+m（m为常数）在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是（ ）A37 B29 C5 D以上都不对10已知函数的图象如右图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 11设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时, 0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是（ ）A（3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3) C(,-
4、 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)12已知两点O（0,0），Q（,b）,点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，是线段的中点，则点的极限位置应是（ ）A（,） B() C() D () 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13垂直于直线2x6y+1=0且与曲线y=x3+3x21相切的直线方程的一般式是_.14(理) （2006年安徽卷）设常数，展开式中的系数为，则_. (文)(2006福建高考)已知直线与抛物线相切，则15函数f(x)=2x3+3x212x5,则函数f(x)的单调增区间是_.16（理）用数学归纳法证
5、的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为_.（文）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是_三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（本小题满分12分） （理）设函数 （1）画出函数的图象； （2）在x=0，x=3处函数是否连续； （3）求函数的连续区间. （文）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.18（本题满分12分） （理）已知复数z1=cosi，z2=sin+i，求| z1z2|的最大值和最小值. （文）(20
6、06福建高考)已知是二次函数，不等式的解集是且 在区间上的最大值是12。 （1）求的解析式； （2）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由19（本小题满分12分）已知有极大值和极小值. （1）求+的值； （2）设曲线的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在上.20（本小题满分12分） （理）函数的定义域为R，且 （1）求证： （2）若上的最小值为，求证：. （文）(2006安徽高考)设函数，已知 是奇函数。 （1）求、的值 （2）求的单调区间与极值21（本小题满分12分） （理）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线上依次有点列A1，A2
7、，An，；B1，B2，Bn，.其中， （1）用含有n的式子表示； （2）用含有n的式子表示点An、Bn的坐标； （3）求四边形面积的最大值. （文）(2006陕西高考)已知函数f(x)=kx33x2+1(k0). （1）求函数f(x)的单调区间; （2）若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围.22（本大题满分14分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a
8、，b，c. （1）求xn+1与xn的关系式； （2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （3）(只理科做)设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.参考答案（10）1（理）设，由，得，得。所以.答案:D （文）,所以k切=43(1)2=1,运用直线的点斜式方程得y=4xx3在点(1,3)处的切线方程是y=x2,所以应选D.2y=2x.x,1y1,即1tan1.又0,0 或.答案:A3（理）存在，而把x=2代入分母时，分母为零，分子、分母应有(x2)这一公因式，化简以后，再求极
9、限.分子x2+ax2可分解成(x2)(x+1)，即x2+ax2=(x2)(x+1)=x2x2.a=1.答案: C （文）=x+2.答案:C4y=x4+6x+4,y|=(1)4+6(1)+4=1.由tan=1,0,得=.答案:C5f(x)=3x22axb.函数f(x)在x=1处有极值10,解得答案:A6（理） 当x=1 时，2x+3=52,故A、B错误；而=5，故选D.（文）f（x）=3ax2+6x,f（1）=3a6=4,所以a=.答案:D7f(x)=3x23=3(x1)(x+1).令f(x)=0得x=1或x=1(舍去).列表如下:x3(3, 1)1(1,0)0f(x)1731f(x)max=3
10、,f(x)min=17.答案:C8(理)当n2时，an=SnSn1=3Sn,Sn=Sn1.又S1=a1=1，Sn是以1为首项， 为公比的等比数列.= =.答案: A(文)y=3x26x,y|x=1=3.在（1,1）处的切线方程为y+1=3（x1）.答案:B9(理)设2+2i的平方根是a+bi(a、bR),则(a+bi)2=2+2i,即a2b2+2abi=2+2i.由复数相等的定义,得解得或即2+2i的平方根是(+i).答案:D(文)（x）=6x（x2），f（x）在（2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大.m=3，f（2）=37，f（2）=5.答案：A10由函数
11、的图象可知：当时， 0，此时增,当时，0，0，此时减,当时，0，0，0，此时增.答案:C11当x0时,0 ，即,当x0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0,故当时，f(x)g(x)0,又f(x)g(x)是奇函数，当x0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0,故当时，f(x)g(x)0,故选D12.点的位置应是(,点的极限位置应是().答案:C13.所求直线与2x6y+1=0垂直，k=3.又由y=x3+3x21,得y=3x2+6x=3.x=1,切点为(1，1).直线方程为y1=3(x+1),即3x+y+2=0.答案
12、: 3x+y+2=014(理) ，由，所以，所以为1. (文) 直线与抛物线相切,切线的斜率,切点,而切点又在抛物线上, 故.15分析:本题考查用导数求函数的单调区间,但要注意单调区间的写法.解:f(x)=6x2+6x12,令f(x)0,得6x2+6x120,解得x2或x1,即函数f(x)的单调增区间是(,2)或(1,+).答案:(,2)或(1,+)16（理)当n=k到n=k+1时，左边增加了两项,减少了一项,左边所增加的项为 =.答案:(文)f（x）=3x2+2x+m.f（x）在R上是单调递增函数,f（x）0在R上恒成立，即3x2+2x+m0.由=443m0,得m.答案:m17(理)图略；，
13、处连续 ， 同理处连续；连续区间为(，+).(文)（1）由题设知.令.当（i）a0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，03，4.18(理)9分故的最大值为最小值为.(文)（1）是二次函数，且的解集是可设在区间上
14、的最大值是由已知，得（2）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。 方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间 内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.19（1），由于有极大值和极小值，、的两根，则（2）设知AB的中点在上20(理)解：定义域为R，由知(文)（1），.从而 是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（2）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为.21(理)由已知得，所以，是首项为， 公比为的等比数列， 设是首项为公差为的等差数列， 设. 所以设四边形的面积
15、是，则 数列单调递减.四边形的面积的最大值为(文)（1）当k=0时,f(x)=3x2+1,f(x)的单调增区间为(,0),单调减区间0,+.当k0时 , f (x)=3kx26x=3kx(x)f(x)的单调增区间为(,0) , , +, 单调减区间为0, .（2）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值. 当k0时, 依题意 f()= +10 , 即k24 , 由条件k0, 所以k的取值范围为(2,+).22（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x10，所以ab. 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （3）若b的值使得xn0，nN* 由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知 0xn3b, nN*, 特别地，有0x13b. 即0b0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+110， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.