1、第十三章第二讲选修2 时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1函数f(x)x33x21是减函数的区间为()A(2，)B(，2)C(，0) D(0,2)答案：D解析：由f (x)3x26x0得：0x2.单调递减区间为(0,2)2函数f(x)x3axb在区间(1,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，则()Aa1，b1 Ba1，bRCa3，b3 Da3，bR答案：D解析：f(x)x3axb，f (x)3x2a，f(x)在(1,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，f (1)3a0，a3，bR.3函数yax3x1有极值的充要条件是()Aa0 Ba0Ca0 Da0答案：B解析：对于三次函
2、数yax3x1有极值，最多有两个，而且是3ax210的解，不可能只有一个极值点，因此三次函数yax3x1有极值的充要条件是3ax210有两个不等的解，即12a0，a0.故选B.4(2011原创题)函数f(x)x3ax2bxa2在x1时有极小值10，则a、b的值为()Aa3，b3或a4，b11Ba4，b1或a4，b11Ca1，b5D以上都不对答案：A解析：f (x)3x22axb.f (1)32ab0，f(1)a2ab110，解组成的方程组得：或.故选A.5函数y2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是()A5，15B5,4C4，15 D5，16答案：A解析：y6x26x126(x2
3、)(x1)，令y0，得x2或x1(舍)f(0)5，f(2)15，f(3)4，ymax5，ymin15，故选A.6(2009南昌市高三年级调研测试卷)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是() ABC D答案：D解析：依题意得该函数的导函数必是二次函数，因此其导函数的图象是抛物线，再结合导数的符号若为正，则相应函数在对应的区间上是增函数；导数的符号若为负，则相应函数在对应的区间上是减函数由各选项逐一判断可知，选D.7已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A2 B1C1 D2答案：A解析：y33x2，令y0，
4、得x1.可判断函数y3xx3在x1处取得极大值，因此，极大值点的坐标为(1,2)，即b1，c2.又adbc，所以ad2.8(2009浙江嘉兴一模)如下图所示图象中有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导数f (x)的图象，则f(1)()A. BC. D或答案：B解析：f (x)x22axa21(xa)21.因为a0，所以导函数的对称轴不是y轴，且开口向上，故原题图中第三个图象为导数f (x)的图象，则f (0)0可得a1.又因为对称轴xa0，所以a1.所以f(1).二、填空题(4520分)9已知函数yx3ax2bx27在x1处有极大值，在x3处有极小值，则a_，b_.答案
5、：39解析：y3x22axb，方程y0有根1及3，由韦达定理应有13，a3及3，b9，经检验，此结果符合题意10已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M、m，则Mm_.答案：32解析：f (x)3x2123(x24)3(x2)(x2)，x2为f(x)的两个极值点，f(2)8，f(2)24，f(3)1，f(3)17，M24，m8.Mm32.11(2009江苏，3)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_答案：(1,11)解析：f (x)3x230x333(x210x11)3(x1)(x11)0，解得：1x11，故减区间为(1,11)12已知函数f(x)x3bx2
6、cx，其导函数yf (x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示则下列说法中不正确的编号是_(写出所有不正确说法的编号)(1)当x时函数取得极小值；(2)f(x)有两个极值点；(3)c6；(4)当x1时函数取得极大值答案：(1)解析：由yf (x)的图象可知，x1时，f (x)0，0x2时，f (x)0，x2时f (x)0，f(x)在(，1)及(2，)上为增函数在(1,2)上为减函数，因此f(x)只有一个极小值点x2，当x1时，f(x)取得极大值，故(1)错误，(2)(4)正确又f (x)3x22bxc0的两个根为1和2，12c6，故(3)正确三、解答题(41040分)13(2009全国
7、，21)已知函数f(x)x43x26.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设点P在曲线yf(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程解析：(1)f (x)4x36x4x(x)(x)当x(，)和x(0，)时，f (x)0；当x(，0)和x(，)时，f (x)0.因此，f(x)在区间(，)和(0，)上是减函数，f(x)在区间(，0)和(，)上是增函数(2)设点P的坐标为(x0，f(x0)，由l过原点知，l的方程为yf (x0)x.因此f(x0)x0f (x0)，即x3x6x0(4x6x0)0，整理得(x1)(x2)0.解得x0或x0.因此切线l的方程为y2x或y2x.14已知函数f(
8、x)x3ax24x的定义域是R，且在区间1,1上是增函数，(1)求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的导函数f (x)在1,1上的最大值为4，试确定函数f(x)的单调区间解析：(1)f (x)2x22ax4，f(x)在区间1,1上是增函数，1a1.(2)f (x)2x22ax4且a1,1，对称轴为x，当x时，f (x)取得最大值4.44.a0.f (x)2x242(x)(x)f(x)的增区间为，减区间为(，)，(，)15(2009重庆，19)已知f(x)x2bxc为偶函数，曲线yf(x)过点(2,5)，g(x)(xa)f(x)(1)若曲线yg(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；(2
9、)若当x1时函数yg(x)取得极值，确定yg(x)的单调区间解析：(1)因f(x)x2bxc为偶函数，故f(x)f(x)，即(x)2b(x)cx2bxc，从而bb，解得b0.又曲线yf(x)过点(2,5)，得22c5，故c1.又函数g(x)(xa)(x21)x3ax2xa，从而g(x)3x22ax1.因曲线yg(x)有斜率为0的切线，故g(x)0有实数解，即3x22ax10有实数解，此时有(2a)2120.解得a(，)(2)因函数g(x)在x1处取得极值，故g(1)0，即32a10，解得a2.又g(x)3x24x1(3x1)(x1)，令g(x)0，得x11，x2.当x(，1)时，g(x)0，故
10、g(x)在(，1)上为增函数；当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(1，)上为减函数；当x(，)时，g(x)0，故g(x)在(，)上为增函数16已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f (x)6x的图象关于y轴对称(1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值解析：(1)由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3，由f(x)x3mx2nx2，得f (x)3x22mxn，则g(x)f (x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的图象关于y轴对称所以0.所以m3，代入得n0.于是f (x)3x26x3x(
11、x2)由f (x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)，(2，)；由f (x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f (x)3x(x2)，令f (x)0得x0或x2.当x变化时，f (x)、 f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f (x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上所述得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值
