1、解题能力讲座(二)高考常用的思维方法系列二 思维方法五 极值思维法1方法概述数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。2方法应用(1)利用三角函数求极值三角函数：yacos bsin yacos bsin a2b2sin()，其中 arctanab。当 90时，有极值 ym a2b2。(2)利用二次函数求极值二次函数：yax2bxc当 x b2a时，有极值 ym4acb24a(若二次项系数 a0，y有极小值，若 a0，y 有极大值)。(3)均值不等式对于两个大于零的变量 a、b，若其和 ab 为一定值 p，则当 ab 时，其
2、积 ab 取得极大值p24；对于三个大于零的变量 a、b、c，若其和 abc 为一定值 q，则当 abc 时，其积 abc 取得极大值 q327。【典例 1】(2013山东高考)如图 1 所示，一质量 m0.4 kg的小物块，以 v02 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力 F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经 t2 s 的时间物块由 A 点运动到 B 点，A、B 之间的距离 L10 m。已知斜面倾角 30，物块与斜面之间的动摩擦因数 33。重力加速度 g 取 10 m/s2。图1(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是
3、多少？(1)解题关键：正确画出受力示意图，垂直斜面、平行斜面列出方程解出拉力F的表达式并结合数学知识求解。(2)解题思路：运用匀变速直线运动的公式求解到达B点时的速度；正确地进行受力分析并且准确地列出运动方向上的牛顿第二定律方程和垂直运动方向上的平衡方程；应用三角函数求极值。规范解答(1)设物块加速度的大小为 a，到达 B 点时速度的大小为 v，由运动学公式得Lv0t12at2vv0at联立式，代入数据得a3 m/s2v8 m/s(2)设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为f，拉力与斜面间的夹角为，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得Fcos mgsin fmaFsin FNmgcos 0又fFN
4、 联立式得Fmgsin cos macos sin 由数学知识得cos 33 sin 2 33 sin(60)由式可知对应 F 最小时与斜面间的夹角30联立式，代入数据得 F 的最小值为Fmin13 35 N答案(1)3 m/s2 8 m/s(2)30 13 35 N【即学即练】1(配方法求极值)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。图2如图 2 所示，以沟底的 O 点为原点建立坐标系 Oxy。已知山沟竖直一侧的高度为 2h，坡面的抛物线方程为 y 12hx2，探险队员的质量为 m，人视为质点，忽略空
5、气阻力，重力加速度为 g。(1)求此人落到坡面时的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？解析(1)设该队员在空中做平抛运动的时间为 t，运动到另一坡面的落点坐标为(x，y)，则有 xv0t2hy12gt2依题意有：y 12hx2根据机械能守恒，此人落到坡面的动能Ek12mv20mg(2hy)联立以上各式得：Ek12m(v20 4g2h2v20gh)(2)把式变形得Ek12m(v20gh2ghv20gh)232mgh当式中的平方项为零时，即 v0 gh，动能 Ek最小。最小的动能 Ekmin32mgh。答案(1)12m(v20 4g2h2v20gh)
6、(2)gh 32mgh思维方法六 守恒思维法1方法概述在物理变化的过程中，常存在着某些不变的关系或不变的量。在讨论一个物理变化过程时，对其中的各个量或量的变化关系进行分析，寻找到整个过程中或过程发生前后存在着的不变关系或不变的量，则成为研究这一变化过程的关键，这就是物理学中最常用到的一种思维方法守恒法。2方法应用守恒定律的研究对象通常是一个系统，利用守恒思想解题的基本思路：(1)明确研究对象(系统)及物理过程；(2)分析物体受力或做功情况，判断系统相互作用的本质，确定守恒量；(3)写出初、末态相对应的守恒量；(4)根据守恒定律列出方程并求解。【典例2】如图3所示，固定在地面上的光滑轨道AB、C
7、D均是半径为R的圆弧。一质量为m、上表面长也为R的小车静止在光滑水平面EF上，小车上表面与轨道AB、CD的末端B、C相切。一质量为m的物体(可看作质点)从轨道AB的A点由静止下滑，由末端B滑上小车，小车在摩擦力作用下向右运动。当小车右端与壁CF接触前的瞬间，物体m恰好滑动到小车右端且相对于小车静止，同时小车与CF碰撞后立即停止运动但不粘连，物体则继续滑上轨道CD。图3(1)求物体滑上轨道CD前瞬间速率是多少？(2)求水平面EF的长度是多少？(3)当物体再从轨道CD滑下并滑上小车后，如果小车与壁BE相碰后速度也立即变为零，最后物体停在小车上的Q点，求Q点距小车右端多远？解析(1)设物体从 A 滑
8、至 B 时速度为 v0，根据机械能守恒定律有mgR12mv20解得 v0 2gR物体与小车相互作用的过程中，系统动量守恒，设共同速度为v1，有mv02mv1解得 v1 2gR2。(2)设物体和小车间的滑动摩擦力为 f，根据动能定理有对物体：fsEF12mv2112mv20对小车：f(sEFR)12mv21解得 f12mg，sEF32R。(3)设物体从轨道 CD 滑下后与小车达到相对静止时的共同速度为 v2，相对小车滑行的距离为 s1，且此过程中两者动量守恒，则有mv12mv2fs112mv21122mv22解得 s114R小车与壁 BE 相碰后静止，物体继续在小车上做减速运动，设再前进距离 s
9、2 停止，对物体由动能定理得fs2012mv22解得 s218R所以 Q 点距小车右端的距离为 ss1s238R。答案(1)2gR2(2)32R(3)38R应用守恒法的优先原则(1)对单个物体，宜选用动能定理，特别是涉及位移的应优先选用动能定理。(2)若是多个物体组成的系统，则优先考虑动量守恒定律、机械能守恒定律和能量守恒定律。(3)若涉及系统内物体间的相对路程并且有摩擦力做功或有多种能量相互转化的，就要优先考虑能量守恒定律。【即学即练】2.如图4所示，质量m50 kg的运动员(可视为质点)，在河岸上A点紧握一根长L5.0 m的不可伸长的轻绳，轻绳另一端系在距离水面高H10.0 m的O点，此时
10、轻绳与竖直方向的夹角为37，C点是位于O点正下方水面上的一点，距离C点x4.8 m处的D点有一只救生圈，O、A、C、D各点均在同一竖直面内。若运动员抓紧绳端点，从河岸上A点沿垂直于轻绳斜向下方向以一定初速度v0跃出，当摆到O点正下方的B点时松开手，最终恰能落在救生圈内。(sin 370.6，cos 370.8，g10 m/s2)求：图4(1)运动员经过B点时速度的大小vB；(2)运动员从河岸上A点跃出时的动能Ek；(3)若初速度v0不一定，且使运动员最终仍能落在救生圈内，则救生圈离C点距离x将随运动员离开A点时初速度v0的变化而变化。试在图5坐标系中粗略作出xv0的图象，并标出图线与x轴的交点
11、。图5解析(1)运动员从 B 点到 D 点做平抛运动HL12gt2xvBt代入数据解得 vB4.8 m/s(2)运动员从 A 点到 B 点的过程中，由机械能守恒定律有mghABEk12mv2B其中 hABL(1cos)代入数据解得 Ek76 J(3)设运动员经过 O 点正下方 B 点时的速度为 vB，B 点距水面高 h，则12mvB212mv20mgL(1cos)xvB2hg解得 x2v2020 xv0 的图象如图所示答案(1)4.8 m/s(2)76 J(3)见解析思维方法七 等效思维法1方法概述等效法是物理学中一个基本的思维方法，其实质是保证效果相同的前提条件下，将实际的、复杂的情境或过程
12、变换为简单的、易于研究和处理的情境或过程。2方法应用等效法在物理解题中的常见应用有：(1)效果等效。例如，合力与分力、合运动与分运动、交流电的有效值和等效重力场等。(2)过程等效。若一个研究对象从同一初始状态出发，分别经过两个不同过程而最后得到的结束状态相同，这两个过程是等效的；有时可将“多个物体的运动”等效为“一个物体的运动”。(3)电路等效。有些电路元件的连接方式复杂，需要画等效电路图来简化电路。(第七章再学习)【典例3】(过程等效)取一根长2 m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘。在线端系上第一个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm、60 cm、84 cm，如图
13、6所示。站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘内。松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5各垫圈()图6A落到盘上的声音时间间隔越来越长B落到盘上的声音时间间隔相等C依次落到盘上的速率关系为 1 2 32D依次落到盘上的时间关系为 1(21)(3 2)(23)解析 各垫圈均做自由落体运动，且各垫圈之间的间距之比为1357，所以所有各垫圈的运动可等效为一个垫圈做初速度为零的匀加速运动。由初速度为零的匀加速直线运动的规律可以判断对应的时间间隔都相等，即落在盘上的声音时间间隔也必定相等，选项A、D错误，选项B正确；它们依次落在盘上的速度之比为1234
14、，选项C错误。答案 B【即学即练】3.(效果等效)如图 7 所示，绝缘光滑轨道 AB 部分是倾角为 30的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为 R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为 E、方向水平向右的匀强电场中。现有一个质量为 m 的带正电小球，电荷量为 q3mg3E，要使小球能安全通过圆轨道，在 O 点的初速度应满足什么条件？图 7解析 小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力 mg，大小为 mg qE2mg22 3mg3，tan qEmg 33，得 30，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动。因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D点)满足“等效重力”刚好提供向心力，即有：mgmv2DR，因30与斜面的倾角相等，由几何关系知 AD 2R，令小球以最小初速度 v0 运动，由动能定理知：2mgR12mv2D12mv20解得 vO10 3gR3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足 vO10 3gR3。答案 vO10 3gR3