1、第2讲导数的简单应用做小题激活思维1设曲线ya(x1)ln x在点(1,0)处的切线方程为y2x2，则a_.答案32函数f(x)的单调增区间是_答案(0，e)3已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_答案4已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.答案325若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_答案1扣要点查缺补漏1导数的几何意义(1)f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率(2)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率，如
2、T1.2导数与函数的单调性(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，如T2.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解3导数与函数的极值、最值(1)f(x0)0是函数yf(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件，如T5.(2)函数f(x)在a，b上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点导数的几何意义(5年10考)高考解读高考对导数几何意义的考查多以选择题或填空题的形式考查，有时出现在解答题的题目条件中或问题的第(1)问，主要考查切线的求法，难度较小.1(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1
3、)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x Dyx切入点：f(x)为奇函数关键点：根据奇偶性求a；正确求出f(0)D因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，由此可得a1，故f(x)x3x，f(x)3x21，f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.2(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1切入点：切点为(1，ae)；切线方程为y2xb.关键点：正确求出曲线在点(1，ae)处的切线的斜率Dyaexln x1
4、，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.已知切线方程为y2xb，解得故选D.教师备选题1(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_y2x2由题意知，y，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率ky|x12，故所求切线方程为y02(x1)，即y2x2.2(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_2xy0设x0，则x0，f(x)ex1x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)ex1x.当x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切
5、线方程为y22(x1)，即2xy0.求曲线yf(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程1(求切点坐标)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1,3)B(1,3)C(1,3)和(1,3) D(1，3)Cf(x)3x21，
6、令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1,3)或(1,3)经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故选C.2(已知切线求参数)已知直线ykx1与曲线yx3mxn相切于点A(1,3)，则n()A1 B1C3 D4C对yx3mxn求导得，y3x2m，A(1,3)在直线ykx1上，k2，由解得n3.3一题多解(公切线问题)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.8法一：yxln x，y1，y|x12.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y
7、2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同方法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2)由解得利用导数研究函数的单调性(5年6考)高考解读利用导数研究函数的单调性是每年的必考内容，但是单独命题的概率较小，主要是作为解答题的第(1)问出现.角度一：讨论函数的单调性1(2017全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围切入点：利用导数讨论f(x)的单调性关键点：对参数a的取值进行分类讨论，当a
8、1时，构造函数可知(1x)ex1，所以f(x)(x1)(1x)exx1ax1成立；当0aax01，从而说明命题不成立；当a0时，举反例x0说明不等式不成立解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)单调递减，在(1，1)单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex0(x0)，因此h(x)在0，)单调递减而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a1时，设函数g(x)exx1，则
9、g(x)ex10(x0)，所以g(x)在0，)单调递增而g(0)0，故exx1.当0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.当a0时，取x0，则x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围是1，)角度二：已知函数的单调性求参数范围2(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1B.C. D.切入点：f(x)在(，)单调递增f(x)0在R上恒成立关键点：正确求解不等式f(x)0.Cf(x)1cos 2
10、xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x，f(x)在R上单调递增，则f(x)0在R上恒成立，令cos xt，t1,1，则t2at0在1,1上恒成立，即4t23at50在1,1上恒成立，令g(t)4t23at5，则解得a，故选C.教师备选题1(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，) D1，)D利用函数单调性与导函数的关系，将问题转化为恒成立问题由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00，故选项D正确故选D.3(2017山东高考)若函数ex
11、f(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中具有M性质的是()Af(x)2xBf(x)x2Cf(x)3x Df(x)cos xA若f(x)具有M性质，则exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立对于选项A，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意经验证，选项B，C，D均不符合题意故选A.求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨
12、论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论.(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.易错提醒：讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.1(已知函数的单调性求参数)若函数f(x)(xa)ex在区间(0，)上不单调，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，0)C(1,0) D1，)Af(x)ex(xa1)，由题意，知方程ex(xa1)0在(0，)上至少有一个实数根，即xa10，解得a0，即a2x4ex有解令g(x)2x4ex，则g(x)24ex.令g(x)0，解得xln 2.当x(，ln 2)
13、时，函数g(x)2x4ex单调递增；当x(ln 2，)时，函数g(x)2x4ex单调递减所以当xln 2时，g(x)2x4ex取得最大值22ln 2，所以a0，其图象的对称轴为x，gm，g(0)m.当g0，即m时，g(x)0，即f(x)0，此时，f(x)在(0，)上单调递增；当g0，即0m0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是
14、(0,1)2(2018北京高考)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解(1)因为f(x)ax2(3a1)x3a2ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex，f(2)(2a1)e2.由题设知f(2)0，即(2a1)e20，解得a.(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.若a1，则当x，1时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0,1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)利用导数研究函数
15、极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.1(函数的极值)已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)令g(x)f(x)(ax1)，求函数g(x)的极值解(1)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，切点为(1,1)，又f(x)1，切线斜率kf(
16、1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)f(x)(ax1)ln xax2(1a)x1，定义域为(0，)则g(x)ax(1a)，当a0时，x0，g(x)0.g(x)在(0，)上是增函数，函数g(x)无极值点当a0时，g(x)，令g(x)0得x.当x时，g(x)0；当x时，g(x)0时，函数g(x)有极大值ln a，无极小值2(函数的最值)已知函数f(x)xexa(ln xx)(1)若ae，求f(x)的单调区间；(2)当a0时，记f(x)的最小值为m，求证：m1.解(1)当ae时，f(x)xexe(ln xx)，f(x)的定义域是(0，)，f(x)(x1)exe(xexe)
17、当0x1时，f(x)1时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)证明：由(1)得f(x)的定义域是(0，)，f(x)(xexa)，令g(x)xexa，则g(x)(x1)ex0，g(x)在(0，)上单调递增因为a0，所以g(0)aaa0，故存在x0(0，a)，使得g(x0)x0ex0a0.当x(0，x0)时，g(x)0，f(x)(xexa)0，f(x)(xexa)0，f(x)单调递增故xx0时，f(x)取得最小值，即mf(x0)x0ex0a(ln x0x0)由x0ex0a0得mx0ex0aln(x0ex0)aaln(a)，令xa0，h(x)xxln x，则h(x)1(1ln x)ln x，当x(0,1)时，h(x)ln x0，h(x)xxln x单调递增，当x(1，)时，h(x)ln x0，h(x)xxln x单调递减，故x1，即a1时，h(x)xxln x取得最大值1，故m1.