1、四川省棠湖中学2019-2020学年高一数学下学期第四学月考试试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在下列结论中，正确的为（ ）A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B. 向量与向量的长度相等C. 向量就
2、是有向线段D. 零向量是没有方向的【答案】B【解析】【分析】逐一分析选项，得到答案【详解】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；B. 向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.故选B.【点睛】本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.2.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用垂直向量的坐标表示可得出关于的等式，解出即可.【详解】由
3、，且，所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.3.在ABC中，已知,则B等于( )A. 30B. 60C. 30或150D. 60或120【答案】A【解析】【分析】由正弦定理知，所以得或，根据三角形边角关系可得【详解】由正弦定理得，所以或，又因在三角形中，所以有，故，答案选A【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，较简单基础4.九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）A. 二升B. 三升C. 四升D. 五升【答案】B【解析】【分析】由题意可得，上、中、下三节
4、的容量成等差数列再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案【详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为，故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题5.在等差数列中，则的值（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质，求得，再由，即可求解.【详解】根据等差数列的性质，可得，即，则，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值的计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知，则( )A. B.
5、C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】由，得，得答案选A【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式，记准公式，正确计算是解 题的关键.7.已知向量满足，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将两边平方，化简求解即可得到结果【详解】由，即，又，则.所以本题答案为A.【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和模的基本知识，熟记模的计算公式是关键，属基础题.8.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于（ ）A. B. C. D. 【
6、答案】D【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.【详解】在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC.在RtABC中，ABBCtan ACB1515.故选：D【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题.9.在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得【详解】，整理得，三角形为直角三角形故选：B【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化
7、角为边是解题关键10.已知、为锐角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出，然后利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】为锐角，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.11.函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题意，得；故选A.12.在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为，且满足，则 的最大值是（）A 1B. C. D. 3【答案】C【解析】csinA=acosC，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，tanC=，即C=，则A+B=，B=A，0A，sinA+sinB=sinA+
8、sin（A）=sinA+=sinA+cos A=sin（A），0A，A+，当A+=时，sinA+sinB取得最大值，故选C第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角的终边与单位圆交于点则_.【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解.【详解】由题得.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14.等差数列中，则数列前9项的和等于_【答案】99【解析】分析：由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案详解：在等差数列an中，a
9、1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，a4=13，a6=9，a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，数列an的前9项之和故答案为99.点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题15.已知等比数列中，为的两个根，则_.【答案】64【解析】【分析】根据韦达定理可求得，由等比数列的性质即可求出，再次利用等比数列的性质即可得解.【详解】因为为的两个根且为等比数列，所以，又，所以，则.故答案为：64【点睛】本题考查等比数列的性质，韦达定理，属于基础题.16.已知向量，则在方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，利用平面向量数量积
10、的坐标运算可求得在方向上的投影为，即可得解.【详解】设与的夹角为，所以，在方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量投影的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知公差不为零的等差数列中，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等
11、差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.试题解析：（1）设数列公差为 成等比数列（舍）或.（2）令.【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.18. 在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：
12、（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.（2）由Sbcsin Abcbc5，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理
13、；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.19.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若，且，求的值.【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数的解析式化为，利用周期公式可得出函数的最小正周期，然后解不等式可得出函数的单调递减区间；（2）由可得出角的值，再利用两角和的正切公式可计算出的值.【详解】（1）函数的最小正周期为，令，解得.所以，函数的单调递减区间为；
14、（2），即，.，故，因此.【点睛】本题考查三角函数基本性质，考查两角和的正切公式求值，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，利用正弦、余弦函数的性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知等差数列中，公差，且，成等比数列求数列的通项公式；若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由题意可得解得即可求得通项公式；(2),裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.试题解析：（1）由题意可得即又因为，所以所以.（2）因为，所以 .因为存在，使得成立，所以存在，
15、使得成立，即存在，使得成立.又（当且仅当时取等号）.所以，即实数的取值范围是.21.在中，内角，所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理以及两角差的余弦公式得到，由特殊角的三角函数值得到结果；（2）结合余弦定理和面积公式得到结果.【详解】（1）由正弦定理得，即，又，.（2）.，.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及
16、、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.22.已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.【答案】(1) . (2) ；(3) 【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式以及求和公式化简，得到，由，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，利用等差数列的定义可得，化简即可求出，从而得到数列的通项公式（2）由（1）可得，利用错位相减，求出数列的前项和即可；（3）结合（1）可得，利用裂项相消法，即可得到的前项和，求出的最大值，即可解得实数的取值范围【详解】（1）由得，所以，由，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，得，即，即，即，因为，所以，所以.（2）由于，所以，所以，两式相减得，所以（3）由知，解得或.即实数的取值范围是【点睛】本题考查等比数列通项公式与前项和，等差数列的定义，以及利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和，考查学生的计算能力，有一定综合性