1、第5章 第三讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1(2009东北三校第一次联合模考)设a，b，c是非零向量，下列命题正确的是()A(ab)ca(bc)B|ab|2|a|22|a|b|b|2C若|a|b|ab|，则a与b的角为60D若|a|b|ab|，则a与b的角为60命题意图：考查平面向量的数量积的基本概念及运算律答案：D解析：对于选项A、B可用数量积定义判断，对于选项C、D可选用向量加、减法的几何意义，对于选项A显然错误因向量的数量积不符合结合律(ab)c|a|b|cosc，a(bc)a|b|c|cos(其中、分别为a与b，b与c的夹角)(ab)c是与c共线的向量a(bc)
2、是与a共线的向量对于选项B.|ab|2(ab)2a22abb2|a2|2|a|b|cos|b|2，故B错对于选项C、D可用向量加、减法的几何意义如图显然C不正确，D正确对于选项D也可用下面方法设是a和b的夹角，|a|b|，|ab|2(ab)2a22abb22|a|22ab|a|2cos，60，故选D.2设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c()A(15,12)B0C3D11答案：C解析：a2b(16，28)(5,6)，(a2b)c53623.故选C.3(2009湖北省部分重点中学高三第二次联考)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角为()A
3、30 B60 C120 D150答案：C解析：a(1,2)，b(2，4)，ab(1，2)，a与ab共线且方向相反cos，60，180120，故选C.4在ABC中，若a，b，c且abbcca，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案：D解析：由abbc得abcosCbccosA，又由正弦定理得sinAcosCsinCcosA，sin(AC)0，AC，同理BC，则ABC的形状是等边三角形，故选D.5(2009全国，6)已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|()A. B. C5 D25答案：C解析：|ab|2a22abb2|a|22ab|b|25
4、0，即5210|b|250，|b|5.6(2009浙江，5)已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A(，) B(，)C(，) D(，)答案：D解析：设c(x，y)，则ca(x1，y2)，ab(3，1)(ca)b，c(ab)，2(y2)3(x1),3xy0.x，y，故选D.7设a(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|14，则b为()A(2,14) B(2，)C(2，) D(2,8)答案：B命题意图：本题考查运用向量投影公式解决问题的能力解析：设b(m，n)，则或 |b|14，b(2，)，故选B.8(2009宁夏、湖南，9)已知点O、N
5、、P在ABC所在平面内，且|，0，则点O、N、P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心答案：C解析：由|OC，即点O到三点A、B、C的距离相等，点O为ABC的外心如图，设D为BC边上的中点，则2.0，20，2，A、D、N三点共线，点N在BC边的中线上，同理点N也在AB、AC边的中线上，点N是重心，0，()0，0，.同理，点P是ABC的垂心二、填空题(4520分)9(2009江西，13)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,2)，若(ac)b，则k_.答案：0解析：ac(3k，1)，b(1,3)(ac)b.1(3k)(1)30k0.1
6、0如图所示，在平行四边形ABCD中，(1,2)，(3,2)，则_.答案：3解析：如图所示，设AC、BD相交于点O，则(，1)(，1)(1,2)又(1,2)，(1,2)(1,2)143.11已知a，b，且2，AOB60，则_；ab与b的夹角为_答案：2解析：2；(ab)bb2ab6，则，故填2，.12已知平面上三点A、B、C满足|3，|4，|5，则的值等于_答案：25分析：本题考查平面向量数量积的计算方法，突出运算技能的考查，为了便于比较，下面给出5种思路解析：思路1：(向量数量积的定义)因为B90，所以|cos(C)|cos(A)25.思路2：(向量数量积的坐标表示)由已知三角形ABC三边长为
7、3、4、5.所以B90.如图，以B为原点，建立直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(3,0)，(0,0)，(0,4)，所以(0,4)(3，4)(3，4)(3,0)034(4)3(3)(4)025.思路3：(向量数量积的运算律)因为B90，所以0，从而()|225.思路4：(整体配凑法)受思路3启发，由广义对称思想出发可得如下更为一般的解法：()()()()(324252)25.思路5：因为0，所以()20，即(|2|2|2)25.总结评述：思路1,2,3都利用了B90这一条件，对向量数量积的不同理解产生了不同的思路，而思路4和思路5不仅未用到B90这一条件，还揭示出了更一般的结论：已知平面
8、上三点A、B、C满足|a，|b，|c，则(a2b2c2)由于向量具有“数”与“形”的双重身份，因此其运算形式丰富多彩，独具魅力，特别是思路4,5不仅简化了运算，还揭示了问题的本质若将三点改为四点，如何？研究会继续下去以上各问题，我们都给出了若干解法，有的题目的不同解法的繁简程度大相径庭，对于数学问题，只有抓住本质，才能发现简捷、灵活的解题方法，这里有直觉和灵感，更是知识与思想方法融会贯通，是数学学习追求的理想境界，但是，又必须指出，高考复习阶段特别是基础知识复习阶段，我们不提倡刻意追求客观题的特殊解法，只有平时的“小题大做”，才能取得考场上的“小题巧做”三、解答题(41040分)13设n和m是
9、两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角解析：由|m|1，|n|1 ，夹角为60，得mn.则有|a|2mn|.|b|.而ab(2mn)(2n3m)mn6m22n2，设a与b的夹角为，则cos.故a，b的夹角为120.14已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，.(1)若ab，求；(2)求|ab|的最大值解析：(1)若ab，则sincos0，由此得tan1()，(2)由a(sin，1)，b(1，cos)得ab(sin1,1cos)，|ab|，当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|的最大值为1.15已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(1)若点A
10、、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求实数m的值解析：(1)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线(3,1)，(2m,1m)，故知3(1m)2m，实数m时，满足条件(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，则，3(2m)(1m)0，解得m.B为直角，(1m，m)，则，3(1m)(m)0，解得m.C为直角，则，(2m)(1m)(1m)(m)0，解得m.综上所述，m或m或m.16(2009湖北，17)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量bc的长度的最大值；(2)设，且a
11、(bc)，求cos的值思路点拨：本小题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能力解析：(1)解法一：bc(cos1，sin)，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos)1cos1，0|bc|24，即0|bc|2.当cos1时，有|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.解法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.(2)解法一：由已知可得bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsincoscos()cos.a(bc)，a(bc)0，即cos()cos.由，得cos()cos，即2k(kZ)，2k或2k，kZ，于是cos0或cos1.解法二：若，则a(，)又由b(cos，sin)，c(1,0)得a(bc)(，)(cos1，sin)cossin.a(bc)，a(bc)0，即cossin1，sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0，解得cos0或cos1.经检验，cos0或cos1即为所求