1、第四讲 复习教学目标：1、 会用数学归纳法证明一些简单问题；2、 会用数学归纳法证明贝努力不等式，了解贝努力不等式的应用条件。知识梳理答案：等式问题证明不等式贝努利不等式典型例题类型一 归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(nk时命题成立)，推出nk1时，命题成立例2 用数学归纳法证明：对于nN，.【规范解答】(1)当n1时，左边，右边，所以等式成立(2)假设nk时等式成立，即，当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知对于任意的自然数n，等式都成立再练一题1数列的前n项的和
2、记为Sn.(1)求出S1，S2，S3的值；(2)猜想出Sn的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想【解】(1)S1，S2，S3.(2)猜想：Sn.(3)证明：当n1时S1a1，右边.等式成立假设当nk时，Sk，则当nk1时，Sk1Skak1，即当nk1时，等式成立，Sn.类型二 不等式证明中的强化命题如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)c一类不等式时，从k到k1的归纳过渡很易卡断思路，此时利用g(n)c，且g(n)c，把命题结论强化，即把c换成g(n)由于归纳假设也随之加强，这样强化了命题更易于用数学归纳法证明例2 证明不等式1(n2，nN)【解析】可先证明1(n2)，(*)对(*)运用数学
3、归纳法证明：(1)当n2时，(*)显然成立(2)设nk时，不等式(*)成立，即1.当nk1时，1111.故当nk1时，不等式(*)成立根据(1)和(2)知，对nN且n2，不等式(*)成立，故原不等式成立再练一题2设0a1，定义a11a，an1a，求证：对一切正整数nN，有1an.【证明】(1)当n1时，a11，a11a，显然命题成立(2)假设nk(kN)时，命题成立，即1ak.当nk1时，由递推公式，知ak1a(1a)a1.同理，ak1a1a.故当nk1时，命题也成立，即1ak1.综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1an.类型三 从特殊到一般的数学思想方法探索性命题是近几年高考试题中经常
4、出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法例3 已知数列bn是等差数列，且b11，b1b2b10145.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)设数列an的通项anloga(其中a0，且a1)，Sn是数列an的前n项和试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论【规范解答】(1)设数列bn的公差为d.由题意得解得故bn13(n1)3n2.(2)由bn3n2知，Snloga(11)logalogaloga.又logabn1loga，因此要比较Sn与logabn1的大小，可先比较(11)与的大小取n1，有(11)；取n2，有(
5、11).由此推测(11).若式成立，则由对数函数性质可判定：当a1时，Snlogabn1；当0a1时，Snlogabn1.下面用数学归纳法证明式成立：a当n1时，已验证式成立b假设当nk(k1，kN)时式成立，即(11).那么，当nk1时，(11)1(3k2)30，(3k2).因而(11).当nk1时式成立由a，b知式对任意正整数n都成立由此证得：当a1时，Snlogabn1；当0a1时，Snlogabn1.再练一题3在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明
6、你的结论； (2)证明：.【解】(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2，所以当nk1时，结论也成立由可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)证明：n1时，2(n1)n.故0，nN，n2.(1)证明：函数Fn(x)fn(x)2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xnx；(2)设有一个与
7、上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明【解】(1)证明：Fn(x)fn(x)21xx2xn2，则Fn(1)n10，Fn1220，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)0，即20，故xnx.(2)法一：由题设，gn(x).设h(x)fn(x)gn(x)1xx2xn，x0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，h(x)12xnxn1.若0xxn12xn1nxn1xn1xn1xn10.若x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10.所以h
8、(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，fn(x)0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)当n2时，f2(x)g2(x)(1x)20，所以f2(x)g2(x)成立假设nk(k2)时，不等式成立，即fk(x)gk(x)那么，当nk1时，fk1(x)fk(x)xk10)，则hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1)所以当0x1时，hk(x)1时，hk(x)0，hk(x)在(1，)上递增所以hk(x)hk(1)0，从而gk1(x).故fk1(x)gk1(x)，即nk1时不等式也成立由和知，对一切n2的整数，都有fn(x)0(2kn)，当x1时，akbk，所以fn(x)gn(x)当x1时，mk(x)nxn1(k1)xk2(k1)xk2(xnk11)而2kn，所以k10，nk11.若0x1，xnk11，mk(x)1，xnk11，mk(x)0，从而mk(x)在(0,1)上递减，在(1，)上递增，所以mk(x)mk(1)0，所以当x0且x1时，akbk(2kn)又a1b1，an1bn1，故fn(x)gn(x)综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，fn(x)gn(x)
