1、广东省佛山三中2019-2020学年高二数学3月月考试题姓名： 班级： 考号： 说明：1.测试时长 120 分钟，试卷满分 150 分。2.用黑色签字笔作答。单选题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。）1已知复数 z 满足 (1 +3i) z = 1 + i ，则复平面内与复数 z 对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2i2已知 i 为虚数单位，复数 z =1 + i，则| z |= （）A2B2C 5D 2 23在 x2 - y 的展开式中， xy3 的系数为（） x A20B10C -10D -204将
2、 5 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A36 种B42 种C48 种D60 种5已知函数 f (x) = ex + a 为偶函数，若曲线 y =exf ( x) 的一条切线与直线 2 x + 3 y = 0 垂直，则切点的横坐标为（）A2B 2C 2 ln 2D ln 26函数 f ( x ) = 3x - 4x3 在0,1 内的最大值是（）1A1B2C0D -17已知 y = ex cos x ，则()A y = -e x sin xB y = e x - sin xC y =2ex sin x + p D y =2ex sin p - x 4
3、4 e 8已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ( x ) 且满足 f ( x ) = 2x f (1) + ln x ，则 f 1 = （）A 1 - 2eB e - 2C -1D e9二项式 2 x -nx 的展开式中第 7 项是常数项，则 n 的值是（） x A 8B 9 C10 D1110算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹 计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图： 如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么
4、可以表示的三位数的个数为（）A 46B 44C 42D 4011已知函数 f ( x ) = x3 + mx2 + mx +1既存在极大值又存在极小值，那么实数 m 的取值范围是（）A (0, 3)B (-, 0)C (3, + )D (-, 0) (3, +)12设函数f ( x)是定义在R上的函数，其中f ( x)的导函数为f ( x)，满足对于x R, f ( x) f ( x) 恒成立，则下列各式恒成立的是（）A f (1) ef (0), f (2020) ef (0), f (2020) ef (0), f (2020) e 2020 f (0)D f (1) e2020 f (0
5、)13、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13（1）已知复数 z1 = -2 + i ， z2 = a + 2i （ i 为虚数单位， a R ）若 z1 z2 为实数，则 a 的值为 13（2）甲、乙、丙 3 个人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六.可以排出 种不同的值周表（用数字作答）.13（3）已知 ( ax + 1)n 的展开式中，二项式系数和为 32 ，各项系数和为 243 ，则 a = 13（4）若 f ( x) = - 1 x2 + b ln x 在 (1, +) 上是减函数，则 b 的取值范围是 2解答题（本大题共 6 小题，共
6、70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）14（10 分）求下列函数的导数：（1） y = e2 x ；（2） y = (1 - 3x )3 .15（12 分）某次文艺晚会上共演出 7 个节目，其中 2 个歌曲，3 个舞蹈，2 个曲艺节目，求分别满足下列 条件的节自编排方法有多少种？（用数字作答）（1）一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；（2）2 个歌曲节目相邻且 2 个曲艺节目不相邻16（12 分）已知曲线 f ( x) = x3 - 2x2 + x .(1) 求曲线 y =f ( x) 在 (2, 2) 处的切线方程；(2) 求曲线 y =f ( x) 过原点 O 的切线
7、方程.17（12 分）已知 (1 + mx )10 = a+ a x + a x2 + L + a x10 中， m 0 ，且.0 1 2 10a6 + 14a3 = 0（1）求 m；（2）求 a2 + a4 + a6 + a8 + a10 .18（12 分）已知函数 f ( x ) = ax2 + blnx 在 x = 1 处有极值 1 2（1）求 a,b 的值；（2）求 f ( x) 的单调区间19（12 分）已知函数 f ( x) = x2 eax - 1 （1）讨论函数 f ( x) 的单调性；1（2）当 a e 时，求证： f ( x) ln x 。3高二数学 3 月线上教育质量测试
8、参考答案1D【详解】由 (1 +3i ) z = 1 + i，得1 + i(1 + i ) (1 -3i )1 + 3 + (1 -3 )i1 + 31 - 3z = = = = + i ，1 + 3i(1 +3i )(1 -3i )1 + 344复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ 1 +43 ， 1 -43 ），在第四象限故选：D2A【详解】因为 z = 2i= 1 + i ，所以| z |=12 + 12 =2 .故选：A.3C1 + i【详解】在 x2 - y 的展开式中，通项公式为T= C r (-1)r x10-3r y r ，令 r = 3 ， x r +1 5 可得 xy3
9、的系数为 -10 .故选：C4B【详解】 根据题意，最左端只能拍甲或乙，可分为两种情况讨论：甲在最左端，将剩余的 4 人全排列，共有 A4 = 24 种不同的排法；乙在最左端，甲不能在最右端，有 3 种情况，将剩余的 3 人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时 共有 3 A3 = 18 种不同的排法，由分类计数原理，可得共有 24 +18 = 42 种不同的排法，故选 B5D【详解】f ( x ) 为偶函数，则 f (- x) = e- x +a e- x= e x +a (e x - e- x )(a - 1) = 0 a = 1 ， f ( x) = e x +e- x ，e x f (
10、x) = ex - e- x . 设切点得横坐标为 x ，则 f (x) = ex0 - e- x0 = 3 . 解得 e x0 = 2 ，（负值舍去）所以0 2x0 = ln 2 .故选：D6A【详解】 f ( x ) = 3x - 4x3 ， f ( x ) = 3 -12x2 = -3( 2x -1) ( 2x + 1) 令 f 0 ，得 - 1 x 1 ；令 f ( x ) 0 ，得 x 1 2222 f ( x) 在区间 0, 1 上是单调递增的，在区间 1 ,1 上是单调递减的2 2 1当 x = 时， f ( x) 有最大值，最大值为 127D【详解】y = (ex ) cos
11、x + ex (cos x) = ex cos x - ex sin x = ex (cos x - sin x) =2ex sin p4- x) 故选：D8B【详解】由题意得： f ( x ) = 2 f (1) + 1x令 x = 1 得： f (1) = 2 f (1) + 1 ，解得： f (1) = -1 f ( x ) = -2 + 1x f 1 = e - 2 。本题正确选项： B 9B【详解】二项式 2 x -nx 的展开式中第 7 项为T=C 6 (2x )n-6 -6x = C 6 2n-6 xn-6 1= C 6 2n-6 xn-9 ， x 6 +1 n x nx3 n
12、由于第 7 项为常数项，则 n90，解得 n9 故选：B10B【详解】按每一位算筹的根数分类一共有 15 种情况,如下(5, 0, 0), (4,1, 0), (4, 0,1), (3, 2, 0), (3,1,1), (3, 0, 2), (2, 3, 0),(2, 2,1), (2,1, 2), (2, 3, 0), (1, 4, 0), (1, 3,1), (1, 2, 2), (1,1, 3), (1, 0, 4),2 根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计
13、数原理，5 根算筹能表示的三位数字个数为：2 + 2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 2 + 2 + 4 + 2 + 2 = 44 .故选 B.11D【详解】解：Q 函数 f ( x ) = x3 + mx 2 + mx + 1既存在极大值，又存在极小值f ( x ) = 3x 2 + 2mx + m = 0 有两异根，V= 4m2 -12m 0 ，解得 m 3 ，故选：D12B【详解】f ( x)设 F ( x) = ，（x R）ex所以 F ( x) = f ( x) =e xf ( x) - f ( x)e x因为对于 x R, f ( x ) 0 ，
14、 所以 F ( x) 是 R 上的增函数，所以 F (0) F (1) ， F (0) F (2020)f (1)即 f (0) ，ef (0) ef (0) 和 f (2020) e2020 f (0）。故答案选 B。13（1）4【详解】Q z1 z2 = (-2 + i ) (a + 2i ) = (-2a - 2) + (a - 4) i 为实数，则 a - 4 = 0 ，解得 a = 4 .故答案为： 4 .13（2）42【详解】解：由题意可得：此值周表可分为两类，一类为甲不值周一，也不值周六，共有 C 2C 2= 18 种，另一类为甲不值周一，但值周六，共有 C1C 2 = 24 ，
15、故可得一共由：18 + 24 = 42 种，故答案为： 42 .13（3）2【详解】由题意，根据二项式系数和为 2n = 32 ，得 n = 5 ，又令 x = 1，得各项系数和为 ( a + 1)5 = 243 ，a + 1 = 3 ，a = 2 故答案为 213（4） (-,1【解析】f ( x ) = - x + b 0, b x2 恒成立，由于 x (1, + ) ，故 b 1 .x14（1） 2e2 x ；（2） -9(1 - 3x)2 或 y = -81x 2 + 54 x - 9 详解：（1） y = e2 x (2x) = e2 x 2 = 2e2 x ；5 分（2） y =
16、3 (1 - 3x )2 (1 - 3x) = -9 (1 - 3x )2 或 y = -81x 2 + 54x - 9 10 分 点睛：本题考查复合函数求导法则，注意函数如何复合的.15（1）240；（2）960.【详解】解：（1）根据题意，分 2 步进行分析：要求 2 个歌曲节目 1 个在开头，另一个在最后，有种安排方法，将剩下的 5 个节目全排列，安排在中间，有种安排方法， 则一共有种安排方法；6 分（2）根据题意，分 3 步进行分析：2 个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有种情况，将这个整体与 3 个舞蹈节目全排列，有种情况，排好后有 5 个空位，在 5 个空位中任选 2 个，安排 2
17、 个曲艺节目，有种情况， 则一共有种安排方法12 分【点睛】 本题考查了乘法原理，插空法，捆绑法，知识点比较综合.16（1） 5x - y - 8 = 0 ；(2) y = x 或 y = 0 .【详解】(1)由题意得 f ( x) = 3x 2 - 4x + 1 ，所以 f (2) = 5 ， f (2) = 2 ，可得切线方程为 y - 2 = 5( x - 2) ，整理得5x - y - 8 = 0 .4 分(2)令切点为（ x 0 ， y0 ），因为切点在函数图像上，所以 y0 = x0 - 2 x0 + x0 ， f( x 0 ) = 3x 0 - 4x 0 + 1 ，所以在该点处的
18、切线为( 3 2)(2) ()y - x0 - 2 x0 + x0= 3x0 - 4 x0 + 1x - x0因为切线过原点，所以( 3 2)(2) () ，解得或，8 分0 - x0 - 2 x0 + x0= 3x0 - 4 x0 + 1 0 - x0x0 = 0x0 = 1当 x0 = 0 时，切点为（0,0）， f (0) = 1 ，切线方程为 y = x ， 当 x0 = 1时，切点为 (1, 0) ， f (1) = 0 ，切线方程为 y=0, 所以切线方程为 y = x 或 y=0.12 分【点睛】本题考查导数的几何意义和“过”、“在”某点处的切线区别，关键是利用某点处的切线的斜率
19、是该点处的导 数值，以及切点在曲线上和切线上来解题17（1） m = -2 （2）29524【详解】（1）因为 a = Ci mi ， i = 1, 2, 3L10 ，依题意得： C 6 m6 + 14C3 m3 = 0 ， m3 10 9 8 7 m3 + 14 10 9 8 = 010 10 4 3 2 1 3 2 1 因为 m 0 ，所以 m3 = -8 ，得 m = -2 .5 分（2） ( )10 2 101 - 2x= a0 + a1 x + a2 x+La10 x令 x = 1 得： a+ a + a+ a + a+ a + a + a+ a + a + a= (1 - 2)10
20、 = 1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10令 x = -1 得： a- a + a- a + a- a + a - a+ a - a + a= (1 + 2)10 = 310 .0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10由 + 得： 2 ( a + a + a+ a + a + a) = 1 + 310 ，0 2 4 6 8 10即 a + a + a+ a + a + a1 + 310= .0 2 4 6 8 10 2又 a = C 0 (-2)0 = 1 ，0 101 + 310310 -1所以 a + a+ a + a + a= - 1= = 29524 12 分2 4 6
21、 8 10 22【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对 发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.18(1) a = , b = -1(2) 单调减区间是 (0,1) ,单调增区间是 (1, +) 2【详解】解：（1）Q f ( x ) = 2ax + b . 又 f ( x ) 在 x = 1 处有极值 1 , f (1) = 1x2a = 11 2 即 2解得 a = , b = -1 6 分 f (1) = 02a + b = 02（2）由（1）可知 f ( x ) = 1 x2 - lnx ,其定义域是 (0, +)
22、 ,2f ( x ) = x - 1 = ( x + 1) ( x - 1) xx由 f ( x ) 0 ,得 0 x 0 ,得 x 1 函数 y = f ( x ) 的单调减区间是 (0,1) ,单调增区间是 (1, + ) 12 分【点睛】 本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的 方法求解即可，属于常考题型.19【详解】（1） f ( x) = x2 eax - 1 f ( x) = 2xe ax + ax 2e ax = x(ax+2）e ax ，当 a = 0 时， f ( x) = x2 -1 ，则函数 f ( x) 在 ( -,
23、 0) 上单调递减，在 (0, +) 上单调递增，令 f ( x) = 0 ，解得 x = 0, x = - 2a当 a 0 时，则当 x - 2 时， f ( x) 0 ，当 0 x 0 ，aa函数 f ( x) 在 ( -, 0) ， - 2 , + 上单调递减，在 0, - 2 上单调递增，a a 当 a 0 时，则当 x 0 或 x 0 ，当 - 2 x 0 时， f ( x) ln x ，可得 x2eax ln x + 1 ，即 ln x + 1 ，ln x + 1设 g ( x) = ，x3 g( x) = - 3 ln x + 2 = - 3(ln x - ln e- 23 ) ，x x3x4 x42 2当 0 x 0 ，函数 g ( x) 单调递增，当 x e- 3 时， g ( x) 0 3xax h( x) =(ax - 1) , a 1 e ，x2 3令 h( x) = 0 ，解得 x = 1 ，a1当 x 时， h( x) 0 ，函数 h( x) 单调递增，a1当 0 x 时， h( x) 1 e23综上所述 f ( x) ln x 12 分【点睛】 本题考查导数和函数的单调性和最值的关系，考查运算求解能力，转化与化归能力，分类讨论的能力，属 于难题