1、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示知识点一平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解(2)平面向量的坐标表示知识点二平面向量加、减运算的坐标运算1在直角坐标平面内，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)2平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等3符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中
2、，就常说点(x，y)或向量(x，y)特别注意：向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号4(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即abx1x2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)(3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)与x轴平行的向量的纵坐标为0；与y轴平行的向量的横坐标为0.(
3、)(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化()答案(1)(2)(3)(4)2做一做 (1)已知(2,4)，则下列说法正确的是()AA点的坐标是(2,4)BB点的坐标是(2,4)C当B是原点时，A点的坐标是(2,4)D当A是原点时，B点的坐标是(2,4)(2)已知(1,3)，且点A(2,5)，则点B的坐标为()A(1,8) B(1,8)C(3，2) D(3,2)(3)若a(2,1)，b(1,0)，则ab的坐标是()A(1,1) B(3，1)C(3,1) D(2,0)(4)若
4、点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量_.答案(1)D(2)B(3)C(4)(1，4)题型一 平面向量的正交分解及坐标表示例1(1)已知向量i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的始点是原点O；若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4(2)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标以及
5、与的坐标解析(1)由平面向量基本定理，知正确；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故错误；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的始点是不是原点无关，故错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故错误(2)由题知B，D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos30，y1sin30，B.x2cos120，y2sin120，D.，.答案(1)A(2)见解析求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和
6、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标(1)如图，e1，e2是一个正交基底，且e1(1,0)，e2(0,1)，则向量a的坐标为()A(1,3) B(3,1)C(1，3) D(3，1)(2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60，求向量的坐标；若B(，1)，求的坐标答案(1)A(2)见解析解析(1)由图可知ae13e2，又e1(1,0)，e2(0,1)，则a(1,3)故选A.(2)设点A(x，y)，则x4cos602，y4sin606，即A(2，6)，故(2，6)(2，6)(，1)(，7).题型二 平面向量加、减运算的坐标表示例2(1)已知三点A(2，1)，B(3,4)
7、，C(2,0)，则向量_，_；(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab的坐标解析(1)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(1,5)，(4，1)，(5，4)(1,5)(4，1)(14,51)(5,4)(5，4)(1,5)(51，45)(6，9)(2)ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)答案(1)(5,4)(6，9)(2)见解析平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的
8、运算进行(1)已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab的坐标；(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且，求M，N及的坐标解(1)ab(1,2)(3,4)(2,6)，ab(1,2)(3,4)(4，2)(2)由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(1,8)，x12，y14；(x23，y24)(6,3)，x23，y21，所以M(2,4)，N(3，1)，(3，1)(2,4)(5，5).题型三 平面向量加、减坐标运算的应用例3如图所示，已知直角梯形AB
9、CD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于点E，用向量的方法证明：DEBC.证明如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|1，则|1，|2.CEAB，而ADDC，四边形AECD为正方形，可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC.通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转
10、化为代数问题来解决已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，1)，(1,2)，(m,1)，(3，n)求msinncos的最大值解四边形ABCD为平行四边形，则，即(33，n1)(m1,12)，即得m1，n2，得msinncossin2cossin()，其中tan2，故msinncos的最大值为.1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则ab()A(1,6) B(5,4)C(1，6) D(6,5)答案A解析ab(3,5)(2,1)(32,51)(1,6)2已知向量(1，2)，(3,4)，则()A(4,6) B(2，3)C(2,3) D(6,4)答案A解析(3,4)(1，2)
11、(4,6)3如图，向量a，b，c的坐标分别是_，_，_.答案(4,0)(0,6)(2，5)解析将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a4i0j，a(4,0)；b0i6j，b(0,6)；c2i5j，c(2，5)4在平面直角坐标系中，|a|2，a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为135，则a的坐标为_答案(2,2)解析因为|a|cos13522，|a|sin13522，所以a的坐标为(2,2)5在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图所示，已知|a|4，|b|3，且AOx45，OAB105，分别求向量a，b的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，由于AOx45，所以a1|a|cos4542，a2|a|sin4542.由已知可以求得向量b的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为120，所以b1|b|cos1203，b2|b|sin1203.故a(2，2)，b.