1、7.3.1复数的三角表示式知识点一复数的三角形式(1)定义：r(cosisin)叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式即zr(cosisin)，其中|z|r，为复数z的辐角(2)非零复数z辐角的多值性：以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线(射线OZ)为终边的角叫复数zabi的辐角因此复数z的辐角是2k(kZ)知识点二辐角的主值(1)定义及表示：在02范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作argz，即0argz2.(2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的特别注意：z0时，其辐角是任意的1在复数的三角形式中，辐角的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2k或k36
2、0(kZ)但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将写成主值2两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)1cosisin.()(2)2i2.()(3)3(cos200isin200)是复数的三角形式()答案(1)(2)(3)2做一做(1)将复数z11i表示成三角形式为_(2)已知|z|2，argz，求复数z_.(3)若a0，则a的三角形式是_答案(1)2(2)3i(3)a(cosisin)题型一 复数的代数形式化为三角形式例1把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)i；(2)1i.解(1)r2，i对应的点在第一象限，tan，即，i
3、2.(2)r.1i对应的点在第四象限，且tan1，1i.复数代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模(2)决定辐角所在的象限(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)(4)求出复数三角形式把下列复数表示成三角形式(1)22i；(2)2.解(1)原式22.(2)原式22.题型二 判断复数三角形式的条件例2判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式(1)；(2)；(3)2；(4)sinicos.解根据复数的三角形式的结构，zr(cosisin)，可依次作出判断(1)不是.(2)不是.(3)不是.22.(4)不是sinicoscosisin.判断复数的三角形式的条件(1)r0；(
4、2)加号连接；(3)cos在前，sin在后；(4)前后一致，可任意值即“模非负，角相同，余正弦，加号连”求复数z3的辐角主值解z33，辐角主值argz.题型三 复数三角形式化为代数形式例3把下列复数表示成代数形式(1)4；(2)6.解根据abir(cosisin)，可得arcos，brsin，故可解(1)444i22i.(2)666i33i.将复数的三角形式化为代数形式：由zr(cosisin)rcosirsin，可得arcos，brsin.将下列复数的三角形式化成代数形式(1)z12；(2)z26(cos60isin60)解(1)z12i.(2)z2633i. 16的辐角主值为()A0 B.
5、 C D答案C解析66(10i)6(cosisin)，辐角主值.故选C.2下列说法正确的是()A已知复数zcosisin，则z的辐角主值为B复数z2i3的虚部为2iC(i)664D复数z2i的三角形式为z2答案C解析A项，z的辐角主值argz，错误；B项，虚部为实数2，错误；C项，(i)6(i)23(22i)3832(2i)2322(2i)(2i)364，正确；D项，z2(0i)2，错误故C正确3复数i的三角形式是_答案cosisin解析icosisin，故复数i的三角形式是cosisin.4设复数z，z2的辐角主值为，z2的辐角主值为，则z_.答案1i解析设z2r1i，z2r2i.2i2i，易得r2r1，代入得r12，z1i21i.5设复数z满足z3的辐角主值为，z1的模为，求复数z.解设zxyi(x，yR)由|z1|，得|(x1)yi|，(x1)2y210.又z3(xyi)3(xyi)2x4yi，所以 arg(z3)解，可得x2，y1.所以z2i.