1、2.5基本初等函数()1. 指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，3，10，的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，10，的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数yax与对数函数ylogax互
2、为反函数(a0且a1).3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况.指数函数、对数函数在高考中属常考内容.以考查指数函数、对数函数的图象、性质为主，性质又以单调性为主，有时在大题中与其他函数混合出现，一般用导数方法解决.高考中常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质，题目多以选择填空题的形式出现.(一)指数函数1. 根式(1)n次方根：如果xna，那么x叫做a的 ，其中n1，且nN*.当n为奇数时，正数的n次方根是一个 数，负数的n次方根是一个 数，这时a的n次方根用符号 表示.当n为偶数时，正数的n次方根有 个，这两个数互为
3、 .这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 .负数没有偶次方根.0的n(nN*)次方根是 ，记作 .(2)根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 .(3)根式的性质：n为奇数时， ；n为偶数时， .2. 幂的有关概念及性质(1)正整数指数幂：an(nN*).(2)零指数幂：a0 .这里a 0.(3)负整数指数幂：a-n (a0，nN*).(4)正分数指数幂：a (a0，m，nN*，且n1).(5)负分数指数幂：a (a0，m，nN*，且n1).(6)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 .(7)有理指数幂的运算性质注：无理
4、数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.3. 指数函数的图象及性质定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数图象a10a1定义域_值域_性质过定点_在R上是_在R上是_ (二)对数函数1. 对数(1)对数：如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的 ，记作x .其中a叫做对数的 ，N叫做 .(2)两类重要的对数常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，记作 ；自然对数：以 为底的对数称为自然对数，记作 .注：(i)无理数e2.718 28；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1 ，logaa .(3)对数与指数之间的关系当
5、a0，a1时，axN xlogaN.(4)对数运算的性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN) ；loga ；logaMn ；一般地， ；(5)换底公式及对数恒等式对数恒等式： ；换底公式：logaN ，特别地，logab .2.对数函数的图象及性质定义一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数图象a10a1象定义域_值域_性质过定点_在(0，)上是 在(0，)上是 3.对数函数与指数函数的关系对数函数ylogax(a0，且a1)与指数函数yax(a0且a1)互为反函数；它们的图象关于直线_对称.(三)幂函数1.幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常
6、数.2. 几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数yx(R)图象00性质(1)图象过点 图象过点 (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，)上是 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，)上是 (3)在第一象限内，当1时，图象下凸；当01时，图象上凸在第一象限内，图象都下凸(4)形如yx或yx (m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.【自查自纠】(一)1. (1)n次方根正负两相反数00(2)根指数被开方数(3)a|a
7、|2. (2)1(3)(4)(5)(6)0没有意义(7)arsarsarbr3. R(0，)(0，1)增函数减函数(二)1.(1)对数logaN底数真数(2)10lgNelnN(iii)01(3) (4)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogaM(5)N2.(0，)R(1，0)增函数减函数3.yx(三)1.yx2.(1)(0，0)和(1，1)(1，1)(2)增函数减函数()log29log34()A. B. C2 D4解：log29log344.故选D.()函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex+1 Bex-1 Ce-
8、x+1 De-x-1解：与yex关于y轴对称的函数是ye-x，再向左平移一个单位，即得到函数yf(x)e-(x+1)e-x-1.故选D.()已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f的值为()A3 B4 C. D.解：设f(x)x，则有823，31，解得，f(26)26224.故选B.()函数f(x)的定义域为_.解：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 0x.故填(0，已知函数f(x)若f(x0)2，则x0的取值范围是 .解：x0时，由f(x0)22x01；x0时，由f(x0)2log2(x02)2x024x02.故填(，12，)类型一指数幂的运算()化简下列各式：(1)(0.064)2.50
9、；(2).解：(1)原式1110.(2)原式 a(a2b)aaaa2.【评析】指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数计算：(1)8100；(2)0.75110(2)116.解：(1)原式(23)(102) (22)322101262886.(2)原式10300(24)10(2)102102010216.类型二指数型复合函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域.(1)y；(2)y；(3)y.解：(1)定义域为R.因为|x1|0，所以y1，所以值域为1，)(2)定义域为R.又因为y1，而01，所以10，则0y1，所以
10、值域为(0，1)(3)令x23x40，解得4x1，所以函数y的定义域为4，1设u(4x1)，易得u在x时取得最大值，在x4或1时取得最小值0，即0u.所以函数y2u的值域为，即函数y的值域为1，4【评析】指数函数yax(a0，a1)的定义域为R，所以yaf(x)的定义域与f(x)的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的原则求下列函数的定义域和值域.(1)y8；(2)y4x2x+11；(3)y.解：(1)因为2x10，所以x，所以原函数的定义域是.令t，则tR且t0，所以由y8t(tR，t0)得y0且y1.所以，原函数的值域是y|y0且y1(2)定义域为R，因为
11、y4x2x11(2x)222x1(2x1)2，且2x0.所以y4x2x11的值域为y|y1(3)设ux26x17，由于函数ux26x17的定义域是(，)，故y的定义域为(，)又函数ux26x17(x3)288，所以，又0，故原函数的值域为.类型三指数函数的图象及其应用已知实数a，b满足等式，下列五个关系：0ba；ab0；0ab；ba0；ab0.其中不可能成立的关系有()A1个B2个C3个 D4个解：作出函数y与y的图象，然后作直线ym，yn(0m1n)我们很容易得到ab0或0b0)；(3)(log2125log425log85)(log1258log254log52).解：(1)原式log52
12、log2log55312.(2)logablogbclogac，c.(3)原式(3log25log25log25)(log52log52log52)log253log5213.【评析】对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同求下列各式的值：(1)(lg2)2lg2lg50lg25；(2)(log32log92)(log43log83)；(3) .解：(1)原式(lg2)2(1lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2.(2)原式.(3)原式分子lg5(33lg2)3(lg2)23
13、lg53lg2(lg5lg2)3；原式分母(lg62)lglg62lg4；原式.类型六对数函数性质的应用()设alog36，blog510，clog714，则()Acba BbcaCacb Dabc解：a1log32，b1log52，c1log72，所以a1，b1，c1，ylog2x在区间(0，)上是增函数0log23log25，a1b1c10，故abc1.故选D.【评析】比较大小问题是高考的热点问题，常考题型，应熟练掌握比较大小的基本方法：作差(商)法；函数单调性法；介值法(特别是以0和1为中间值媒介)利用对数函数单调性比较大小的基本方法是“同底法”.即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后
14、根据单调性来解决()已知xln，ylog52，ze，则()Axyz BzxyCzyx Dyzx解：由对数与指数性质知x1，y1，z1.又log52e，yz.综上知：yz0时，恒有f(x)flgx.(1)求f(x)的解析式；(2)若方程f(x)lg(mx)的解集是，求实数m的取值范围.解：(1)当x0时，f(x)flgx恒成立，lglglgx，即(ab)x2(ab)x0.x0，上式若恒成立，则只能有ab，又f(1)0，即ab2，从而ab1，f(x)lg.(2)由lglg(mx)知即由于方程的解集为，故有如下两种情况：方程x2(m1)xm0无解，即0，解得32m32；方程x2(m1)xm0有解，两
15、根均在区间1，0内，令g(x)x2(m1)xm，则有即无解综合，实数m的取值范围是m|32m1)，由于函数yxn的图象与直线xt的交点为(t，tn)，可见指数n的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答案解法二(特殊值法)：当x2时，y1238，y2224，y320.5，y421，84，y1y2y3y4，故填3，2，1.【评析】(1)利用幂函数的性质比较大小，往往伴随着指数函数单调性的应用，此题无论是解法一还是解法二，都应用了yax(a1)的单调递增的性质当然在利用指数函数的单调性比较大小时，也会伴随着幂函数单调性质的应用(2)当两个幂的底数和指数都不相同时，可以寻找一个中间量，以它
16、作为桥梁，分别构造指数函数和幂函数，通过比较它们和这个中间量的大小解决问题已知(0.71.3)m(1.30.7)m，求m的取值范围.解：因为幂函数yx1.3在(0，)上是增函数，并且0.71，所以0.71.311.31，又因为指数函数y1.3x是增函数，并且0.70，所以1.30.71.301，所以0.71.311.30.7.由(0.71.3)m(1.30.7)m知，当m0时，幂函数yxm在(0，)上是增函数，故m的取值范围为m|m0 1.指数函数的图象、性质在应用时要特别注意a的取值范围，必要时要进行分类讨论.2.比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同，可利用指数函
17、数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量.3.熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径.4.作指数函数yax(a0，且a1)和对数函数ylogax(a0，且a1)的图象应分别抓住三个点，(0，1)，(1，a)和，(1，0)，(a，1).5.比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，同时还要注意引入中间量0或1作为桥梁比较大小；取直线，得特殊点再比较，是一种比较好的方法.6.幂函数y
18、x的图象与性质因的取值不同而比较复杂，因此，特别要重视数形结合：由题设条件及幂函数的性质作出示意图，再由图象得出进一步的结论使问题得到解决.7.幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x2或x的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数yx0).8.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性.函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.9.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、凹凸性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的定义域和奇偶性就可以作出幂函数在定义域内完整的图象.10.判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义中的“标准”形式.如f(x)不是指数函数，而f(x)23x是指数函数，因为f(x)23x8x，此时a8，同样f(x)2x1也不是指数函数，因为f(x)2x122x，不是f(x)ax(a0，且a1)的形式.