1、第五节椭圆热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上.本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用.授课提示：对应学生用书第162页知识点一椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆两定点F1，F2叫做椭圆的焦点集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆(
2、2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是线段(3)当2a|F1F2|这一条件，当2a|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2ab0)1设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A. BC2 D1答案：D2(易错题)若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.y21B.1C.y21或1D以上答案都不对答案：C3椭圆1的焦距为4，则m_.答案：4或8授课提示：对应学生用书第164页题型一椭圆的定义与标准方程自主探究1已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一
3、个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2B6C4D12答案：C2(多选题)(2021海南模拟)设椭圆1的右焦点为F，直线ym(0m )与椭圆交于A，B两点，则()A|AF|BF|为定值BABF周长的取值范围是6,12C当m时，ABF为直角三角形D当m1时，ABF的面积为解析：设椭圆的左焦点为F，则|AF|BF|，所以|AF|BF|AF|AF|为定值6，A正确；ABF的周长为|AB|AF|BF|，因为|AF|BF|为定值6，易知|AB|的范围是(0,6)，所以ABF周长的取值范围是(6,12)，B错误；将y与椭圆方程联立，可解得A，B.又易知F(，0)，所以20，所以ABF为直角三角形，C正确
4、；将y1与椭圆方程联立，解得A(，1)，B(，1)，所以SABF21，D正确答案：ACD3椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为()A.y21B.1C.y21或1D.y21或x21答案：C1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|，通过整体代入可求其面积等2求椭圆方程的常用方法(1)定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义(2)待定系数法，待定系数法的
5、要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，再用待定系数法求出m，n的值即可题型二椭圆的几何性质合作探究例(1)(多选题)(2021山东淄博模拟)已知椭圆：1(ab0)，则下列结论正确的是()A若a2b，则的离心率为B若的离心率为，则C若F1，F2分别为的两个焦点，直线l过点F1且与交于点A，B，则ABF2的周长为4aD若A1，A2分别为的左、右顶点，P为上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为(2)(2021八省联考模拟卷)椭圆1(m0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若F1A
6、F2，则m()A1BC.D2解析(1)若a2b，则cb，e，选项A不正确；若e，则a2c，bc，选项B正确；根据椭圆的定义易知选项C正确；设P(x0，y0)，则1，易知A1(a,0)，A2(a,0)，所以PA1，PA2的斜率之积为，选项D正确(2)在椭圆1(m0)中，a，bm，c 1，如图所示：因为椭圆1(m0)的上顶点为点A，焦点为F1，F2，所以|AF1|AF2|a，F1AF2，F1AF2为等边三角形，则|AF1|F1F2|，即 a2c2，因此，m .答案(1)BCD(2)C求椭圆离心率的三种方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)
7、，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解(3)数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率.题组突破1(2021洛阳模拟)已知椭圆1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于()A5B6C9D10答案：C2已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3,0)B(4,0) C(10,0)D(5,0)答案：D题型三直线与椭圆的位置关系合作探究例已知椭圆1(ab0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)，若|AB|，求
8、直线l的倾斜角解析(1)由e得3a24c2，再由a2b2c2得a2b，又2a2b4，则ab2，解方程组得a2，b1，所以椭圆的方程为y21.(2)由(1)得A(2,0)，设点B的坐标为(x1，y1)，由题意知直线l的斜率存在，故设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A、B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理得(14k2)x216k2x16k240，因为x2是方程的一个根，则2x1，所以x1，从而y1k(x12).|AB| ，由|AB|，得，整理得32k49k2230，即(k21)(32k223)0，所以k1，所以直线l的倾斜角为或.1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常
9、规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率).对点训练已知椭圆的两焦点为F1(，0)，F2(，0)，离心率e.(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l：yxm，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值解析：(1)设椭圆的方程为1(ab0)，则c，所以a2，b1，所以所求椭圆的方程为y21.(2)由消去y，得5x28mx4(m21)0，由0，得m25.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2
10、)，则x1x2，x1x2，y1y2x1x2，|PQ|2.解得m，满足(*)，所以m.椭圆几何性质中的核心素养数学运算、直观想象椭圆离心率的范围问题椭圆的离心率问题是高考命题的热点，离心率范围问题是高考难点，多为选择、填空题的压轴小题，能力要求较高例(1)(2021青岛模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A. B. C. D.(2)过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是_解析(
11、1)(几何法)如图所示，线段PF1的中垂线经过F2，PF2F1F22c，即椭圆上存在一点P，使得PF22c.ac2cac.e.(2)由题设知，直线l：1，即bxcybc0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将xc代入椭圆C的方程，得y，即圆的半径r.又圆与直线l有公共点，所以，化简得2cb，平方整理得a25c2，所以e.又0e1，所以0e.答案(1)C(2)求椭圆离心率范围的两种方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆1(ab0)上一点，则|x0|a，ac|PF1|ac等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接法根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式题设条件直接有不等关系对点训练已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案：A