1、第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题在高考中，与本节相关的试题主要以实际问题为背景，题型多为选择题、填空题，也有通过考查概率间接考查本节内容的试题，学习时应注意掌握一些常见的计数模型1分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法在第n类方案中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不
2、同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有N_种不同的方法3分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法_，用其中_都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法_，只有_才算做完这件事4用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析需要分类还是需要分步(1)分类要做到“_”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“_”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要_，分
3、步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数【自查自纠】1m1m2mn2m1m2mn3相互独立任何一种方法互相依存各个步骤都完成4(1)不重不漏(2)步骤完整相互独立将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()A53种 B35种 C3种 D15种解：第1封信，可以投入第1个邮筒，可以投入第2个邮筒，也可以投入第3个邮筒，共有3种投法；同理，后面的4封信也都各有3种投法所以，5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种故选B.某人去有四个门的商场购物，若进出商场不同门，则不同的进出方案有()A256种 B81种 C16种 D12种解：进商场的方案有4种，则出商场
4、的方案有3种，由分步计数原理知，共有进出商场的方案4312种故选D.点Q(x，y)中x1，2，y2，3，4，则不在直线yx上的点Q(x，y)的个数是()A1 B4 C5 D6解：这样的点共有236个，在直线yx上的只有(2，2)，因此不在直线yx上的点的个数是615.故选C.某校高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班现选两个班的学生参加社会实践活动，若要求这两个班来自不同年级，则有不同的选法_种解：先分类再分步，共有不同的选法：677868146种故填146.60的正约数有_个解：602235，因此可设60的正约数为m2n13n25n3，其中n1可取0，1，2共3个数；n2可取0，1共2个数
5、；n3可取0，1共2个数由分步乘法计数原理可知，60的正约数共有32212个故填12.类型一分类与分步的区别与联系甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书现在乙同学向甲同学借书，试问：(1)若借一本书，则有多少种不同的借法？(2)若每科各借一本，则有多少种不同的借法？(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情故用分类计数原理，共有54312(种)不同的借法(2)需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科
6、中各借一本，才能完成这件事情故用分步计数原理，共有54360(种)不同的借法(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有5420(种)借法；借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有5315(种)借法；借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有4312(种)借法而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20151247(种)不同的借法【评析】仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关如果完成一
7、件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人(1)从中任选1人去献血，有多少种不同选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法
8、，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情即可完成，所以由分类加法计数原理，共有2879347种不同的选法(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才算完成，所以用分步乘法计数原理，共有287935292种不同的选法类型二两个原理的综合应用(1)现有来自高(一)四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组现推选两人作中心发言，这两人须来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：分
9、六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法所以共有不同的选法N787971089810910431(种)【评析】对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或只用分步乘法计数原理解决时，可以综合运用两个原理可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类本题可先根据两个班级的不同分类，再分步从两个班级中各选1人(2)有一个圆被两相交弦分
10、成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？解：如图，分别用A，B，C，D记这四个部分，A与C，B与D不相邻，因此，它们可以同色，也可以不同色首先分两类，即A，C涂相同颜色和A，C涂不同颜色：类型一，分三步：第一步，给A，C涂相同的颜色，有5种涂法；第二步，给B涂色有4种涂法；第三步，给D涂色，由于D与B可以涂相同的颜色，所以有4种涂法由分步计数原理知，共有54480种不同的涂法类型二，分四步：第一步，给A涂色，有5种涂法；第二步，给C涂色，有4种涂法；第三步，给B涂色有3种涂法；第四步，给D涂色有3种涂法由分步计数原理知，共有5433
11、180种不同的涂法综上，由分类计数原理可知，共有80180260种不同的涂法【评析】本题也可以在分四步的基础上再分类来完成：A有5种涂法，B有4种涂法，若C与A相同，则D有4种涂法，若C与A不同，则C有3种涂法，且D有3种涂法，故有54(433)260种涂法涂色问题多以平面、空间为背景，涂色对象以平面区域居多，也有以点或线为对象的涂色问题此类问题往往需要多次分类、分步(也有用穷举法解决的题目)，常用分类依据有：所涂颜色种类；可涂同色的区域(或点、线等)是否涂同色(1)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数解：完成这件事有3类方法：第一类：用0作个位的比2000
12、大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步乘法计数原理，这类数的个数有44348个第二类：用2作个位的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步计数原理，这类数的个数有34336个第三类：用
13、4作个位的比2000大的四位偶数，其步骤同第二类，这类数的个数也有36个综合以上所述，由分类计数原理，可得所求无重复数字的比2000大的四位偶数有483636120个(2)()假设佛山五区行政区划图如图，测绘局想要给地图着色，相邻区域颜色不同，每块区域只涂一色现有4种颜色可供选择，那么共有不同的着色方案为_种(用数字作答) 题图答图解法一：为了方便，以数字代表各区域，如图区域1，2，3，4，5分别有4，3，2，3，2种着色方案，故共有43232144种方案解法二：可以看到区域3与其余四块均相邻，其中区域123及区域345均是两两相邻，因此分成两类：第一类，用3种颜色，有C3212148(种)情
14、形；第二类，用4种颜色，有432124322196(种)情形故共有144种方案故填144.1运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准分类应满足：完成一类事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类之间具有确定性与并列性2运用分步乘法计数原理时，要确定分步的标准分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性3在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理、简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏4对于既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的复杂问题，可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析，使问题的分析过程更直观、清楚，便于探索规律5解答日常生活中的计数方法问题的总体思路：根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少且计数对象不规律的情况；(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，采用间接法计算其反面情形，再用总数减掉
