1、2020-2021学年上海市实验学校高一（下）期末数学试卷一、填空题（共10小题）.1已知复数z满足（2）i1（i是虚数单位），则z 2已知等差数列an，其中a1，a2+a54，an33，则n的值为 3已知（0，），且有12sin2cos2，则cos 4在复平面上复数1+i，0，3+2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为 5若复数z满足|z4+7i|2，则|z10i|的最大值为 6若向量（x，2x），（3x，2），且、的夹角为钝角，则x的取值范围是 7数列an的前n项和Sn3+2n，则其通项公式an 8在ABC中，AB1，AC2，则 9已知函数f（x）sin（x
2、+）（0，02）是R上的偶函数，图象关于点M（，0）对称，在0，是单调函数，则符合条件的数组（，）有 对10若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是 二、选择题11设复数z满足i，则|1+z|（）A0B1CD212在ABC中，若+0，则ABC的形状一定是（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形13已知|2|0，且关于x的方程x2+|x+0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A0，B，C，D，14设aR，函数f（x）cosx+cosax，下列三个命题：函数f（x）cosx+
3、cosax是偶函数；存在无数个有理数a，函数f（x）的最大值为2；当a为无理数时，函数f（x）cosx+cosax是周期函数，以上命题正确的个数为（）A3B2C1D0三、解答题15已知复数za+bi（其中a、bR），存在实数t，使3ati成立（1）求证：2a+b6；（2）求|z|的取值范围16设、是两个不共线的非零向量（tR）（1）记，t，（+），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？（2）若|1且与夹角为120，那么实数x为何值时，|+x|的值最小？17已知等比数列an的公比q1，a132，且2a2、3a3、4a4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，求数列|b
4、n|的前n项和Tn18如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30，CAB75，又选择了相距100米的B点，测得ABC60（1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得BAE90之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：方案：测量ABF和DAF方案：测量ABE和EAF方案：测量ABE和ECF方案：测量ABF和AFB请问：小明的备选方案中
5、有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米ABF58.0，ABE50.2，DAF16.7，EAF41.5，ECF53.8，AFB32.0四.附加题19设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点（n，）都在函数f（x）x+的图象上（1）将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1）、（a2，a3）、（a4，a5，a6）、（a7，a8，a9，a10）、（a11）、（a12，a13）、（a14，a15，a16）、（a17，a18，a19，a20）、（a21）、，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号
6、的前后顺序构成新的数列为bn，求b5+b100的值；（2）设An为数列的前n项积，若不等式Anf（a）对一切nN*都成立，求a的取值范围20若函数yf（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）f（ax）b恒成立，则称yf（x）为“函数”，已知函数f（x）tanx是一个“函数”，求出所有的有序实数对（a，b）参考答案一、填空题1已知复数z满足（2）i1（i是虚数单位），则z2+i解：因为，所以，所以z2+i故答案为：2+i2已知等差数列an，其中a1，a2+a54，an33，则n的值为50解：在等差数列an，由a1，a2+a54，得2a1+5d4，即，由an33，得，解得：n50故
7、答案为：503已知（0，），且有12sin2cos2，则cos解：由12sin2cos2，得1cos22sin2，即2sin24sincos；又（0，），所以sin0，所以sin2cos0；由sin2+cos2（2cos）2+cos25cos21，解得cos故答案为：4在复平面上复数1+i，0，3+2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为 解：复数1十i，0，3+2i所对应的点分别是A，B，C，A（1，1），B（0，0），C（3，2），则AC的中点M（1，），设D（x，y），则BD的中点是M，即，得，即D（2，3），则|BD|，故答案为：5若复数z满足|z4+7i
8、|2，则|z10i|的最大值为 12解：满足|z4+7i|2的复数z表示的点的轨迹为以M（4，7）为圆心，以2为半径的圆及其内部，如图，|z10i|的几何意义为动点Z到定点A（10，1）的距离，则|z10i|的最大值为|MA|+212故答案为：126若向量（x，2x），（3x，2），且、的夹角为钝角，则x的取值范围是 （，）（，0）（，+）解：的夹角为钝角又向量（x，2x），（3x，2），cos0即3x2+4x0解x0，或x又当x时，与反向，不满足条件故满足条件的x的取值范围是（，）（，0）（，+）故答案为：（，）（，0）（，+）7数列an的前n项和Sn3+2n，则其通项公式an解：由Sn3+
9、2n，得a1S15；当n2时，验证n1时上式不成立an故答案为：8在ABC中，AB1，AC2，则解：（+）（+）（）（）（）（+）（）（41），故答案为：9已知函数f（x）sin（x+）（0，02）是R上的偶函数，图象关于点M（，0）对称，在0，是单调函数，则符合条件的数组（，）有4对解：函数f（x）sin（x+）（0，02）是R上的偶函数， 或，故当时，f（x）cosx，它的图象关于点M（，0）对称，k+，kZ，即在0，是单调函数，0，02当k0，；当k1，2则符合条件的数组（，）有：（，）、（2，）当 时，f（x）cosx，同理求得符合条件的数组（，）有：（，）、（2，）综上可得，符合条件
10、的数组（，）有4对，故答案为：410若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是9解：a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，a，b，且ab2，a、b、2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，解得a4，b1，p+q8，pq1，p+q+pq9，p+q+pq的值形成的集合是9故答案为：9二、选择题11设复数z满足i，则|1+z|（）A0B1CD2解：由于，所以1zi+zi所以z则|1+z|故选：C12在ABC中，若+0，则ABC的形状一定是（）A等边三角形B直角三角
11、形C等腰三角形D等腰直角三角形解：在ABC中，+（+）0，A，则ABC为直角三角形，故选：B13已知|2|0，且关于x的方程x2+|x+0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A0，B，C，D，解：，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos，故选：B14设aR，函数f（x）cosx+cosax，下列三个命题：函数f（x）cosx+cosax是偶函数；存在无数个有理数a，函数f（x）的最大值为2；当a为无理数时，函数f（x）cosx+cosax是周期函数，以上命题正确的个数为（）A3B2C1D0解：函数f（x）cosx+cosax，xR；f（x）cos（x）+cosa（x）cosx+cosa
12、xf（x），函数f（x）是偶函数，正确；f（x）cosx+cosax2coscos，coscos1时，函数f（x）的最大值为2，存在无数个有理数a，函数f（x）的最大值为2，正确；当a为无理数时，若函数f（x）cosx+cosax是周期函数，设t为函数f（x）的周期，可得f（x+t）f（x），即为cos（x+t）+cosa（x+t）cosxcostsinxsint+cosaxcosatsinaxsinatcosx+cosax，可得cost1，且cosat1，即有t2k，at2m，k，mZ，即有kam，可得a为有理数，故不正确正确命题的个数为2，故选：B三、解答题15已知复数za+bi（其中a、
13、bR），存在实数t，使3ati成立（1）求证：2a+b6；（2）求|z|的取值范围【解答】（1）证明：za+bi（其中a、bR），存在实数t，使3ati，则abi3ati，可得，消去t可得2a+b6；（2）解：|z|2a2+b2a2+（62a）25a224a+36|z|，+）16设、是两个不共线的非零向量（tR）（1）记，t，（+），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？（2）若|1且与夹角为120，那么实数x为何值时，|+x|的值最小？解：（1）A、B、C三点共线，+t（+）+，解得 t（2）|1，120，|+x|2|2+x2|22x1+x2+x（x）2+，|x|的最小值为，此时x17已
14、知等比数列an的公比q1，a132，且2a2、3a3、4a4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，求数列|bn|的前n项和Tn解：（1）因为2a2、3a3、4a4成等差数列，所以2a2+4a46a3，即a1q+2a1q33a1q2因为a10，q0，所以2q23q+10，即（q1）（2q1）0因为q1，所以所以所以数列an的通项公式为an26n（nN*）（2）因为an26n，所以bnlog226n6n所以当1n6时，Tn|b1|+|b2|+|bn|b1+b2+bn；当n7时，Tn|b1|+|b2|+|bn|（b1+b2+b6）（b7+b8+bn）2（b1+b2+b6）（
15、b1+b2+bn）综上所述，18如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30，CAB75，又选择了相距100米的B点，测得ABC60（1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得BAE90之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：方案：测量ABF和DAF方案：测量ABE和EAF方案：测量ABE和ECF方案：测量ABF和AFB请问：小明的
16、备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米ABF58.0，ABE50.2，DAF16.7，EAF41.5，ECF53.8，AFB32.0解：（1）在ABC中，ACB180CABCBA180756045，由正弦定理可得，所以米，又由题意可知，DCAC，DAC30，所以米；（2）可行方案：理由如下：由（1）知，米，因为BAE90，所以ABAE，由已知ABEF，且AEEFE，所以AB平面AEF，又AF平面AEF，所以ABAF，BAF90，若已知ABF和DAF在直角ABF中，AFABtanABF，在ADF中，由余
17、弦定理可得，若已知ABE和EAF在直角ABE中，AEABtanABE，因为EACBAEBAC907515，所以在EAC中，由余弦定理可得，在直角AEF中，EFAEtanEAF，在EF上截取EGCD，则FGEFEG，且四边形DCEG为矩形，故ECDG，在直角DGF中，若已知ABE和ECF在直角ABE中，AEABtanABE，因为EACBAEBAC907515，所以在EAC中，由余弦定理可得，在直角ECF中，EFECtanECF，在EF上截取EGCD，则FGEFEG，且四边形DCEG为矩形，故ECDG，在直角DGF中，由于ABF和AFB在同一个三角形中，无法获取其他三角形中的边角关系，故而无法利用
18、正弦定理和余弦定理进行求解（3）选择方案，解析如下：ABF58.0，DAF16.7，由（1）知，米由（2）中方案知，在直角ABF中，AFABtanABF100tan58.0160.03米，在ADF中，由余弦定理可得，故两塔顶DF之间的距离为47米四.附加题19设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点（n，）都在函数f（x）x+的图象上（1）将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1）、（a2，a3）、（a4，a5，a6）、（a7，a8，a9，a10）、（a11）、（a12，a13）、（a14，a15，a16）、（a17，a18，a19，a20）、（a21）、，分别计算各个括号内
19、各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为bn，求b5+b100的值；（2）设An为数列的前n项积，若不等式Anf（a）对一切nN*都成立，求a的取值范围解：（1）因为点都在函数的图象上，所以，即，当 n2 时，由得，整理得an+an14n2 ，当n3时，an1+an24n6，由得anan24，又，于是数列a2n是为4为首项，4为公差的等差数列，即a2n4n，数列a2n1是以2为首项，4为公差的等差数列，即a2n14n2，所以an2n另解：当n2时，an+an14n2an2n（an1（2n2），于是有，故an2n因为，所以数列an依次按1项、2项、3项、4 项循环地分为（2），（4
20、，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42）每一次循环记为一组，由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b10068+24801988又b522，所以b5+b1002010（2）因为，故，所
21、以又，故 对一切nN*都成立，即对一切nN*都成立设，nN*，则只需 即可由于 ，所以 g（n+1）g（n），故 g（n） 是单调递减，于是 令 ，即 ，解得 ，或 综上所述，使得所给不等式对一切 nN*都成立的实数 a 的取值范围是 20若函数yf（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）f（ax）b恒成立，则称yf（x）为“函数”，已知函数f（x）tanx是一个“函数”，求出所有的有序实数对（a，b）解：因为函数f（x）tanx是一个“函数”，设有序实数对（a，b）满足tan（ax）tan（a+x）b恒成立，当a，kZ时，tan（ax）tan（a+x）cot2x，不是常数，不符合题意；所以a，kZ，当x，mZ时，有（btan2a1）tan2x+（tan2ab）0恒成立，所以btan2a10且tan2ab0，所以tan2a1，b1，故，kZ，b1，所以当x，mZ时，kZ时，tan（ax）tan（a+x）cot2a1为定值，故满足f（x）tanx是一个“函数”的有序实数对（a，b）为