1、第三章 第一讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则a2等于()A4B2 C1D2答案：A解析：当n1时，a12(a11)，a12；当n2时，a1a22a22，a2a124.2已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10等于()A165B33C30 D21答案：C解析：方法一：赋值法：令q2，则ap2apa2，a26，故数列an的所有偶数项、所有奇数项分别成等差数列a10a24(6)30，故选C.方法二：a10a82a8a2a62a2a62a25a230.3数列，中，有序实数对(a，b)可以是()A(
2、21，5)B(16，1)C(，) D(，)答案：D解析：由数列中的项可观察规律，5310817(ab)(ab)242，解得a，b，故选D.4(2009山东日照2月模拟)已知数列1，则是此数列中的()A第48项 B第49项C第50项 D第51项答案：C解析：将数列分为第1组1个，第2组2个，第n组n个，()，(，)，(，)，(，)，则第n组中每个数分子分母的和为n1，则为第10组中的第5个，其项数为(1239)550.5(2009山东聊城三模)已知an(nN*)，则在数列an的前50项中最小项和最大项分别是()Aa1，a50 Ba1，a44Ca45，a50 Da44，a45答案：D解析：an1，
3、为一定值，要使an最大，则需n最小且n0，则n45；同理当n0，可采用两边取对数的方法求解解析：(1)由an1an2n，把n1,2,3，n1(n2)代入，得(n1)个式子，累加即可得(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n1，所以ana1，即ana12n2，所以an2n2a12n1.当n1时，a11也符合，所以an2n1(nN*)(2)由递推关系an1an，a14，有，于是有3，将这(n1)个式子累乘，得.所以当n2时，ana12n(n1)当n1时，a14符合上式，所以an2n(n1)(nN*)(3)由an12an1得an112(an1)，令bnan1，则bn是以2为公比的等比数列
4、所以bnb12n1(a11)2n12n，所以anbn12n1(nN*)(4)由已知，an0，在递推关系式两边取对数，有lgan12lganlg3.令bnlgan，则bn12bnlg3.所以bn1lg32(bnlg3)，所以bnlg3是以b1lg3为首项，以2为公比的等比数列所以bnlg32n12lg32nlg3.所以bn2nlg3lg3(2n1)lg3lgan.所以an32n1.14(2009北京海淀)已知数列an前n项的和为Sn，且满足Sn1nan(n1,2,3，)(1)求a1，a2的值；(2)求an.解析：(1)当n1时，S1a11a1，a1.当n2时，a1a212a2，a2.(2)Sn1
5、nan，当n2时，Sn11(n1)an1，anSnSn1(n1)an1nan.anan1，ana1.当n1时，a1符合上式an(n1,2,3)15已知数列an，其前n项和为Snn2n(nN*)(1)求an的通项公式；(2)记T，求T的值解析：(1)当n1时，a1S11当n2时，anSnSn1n.显然，当n1时，ann也成立故an的通项公式为：ann(nN*)(2)2()2(1)2()2()2()2(1).16设数列an的前n项的和Snan2n1，n1,2,3，.求首项a1与通项公式an.分析：主要考查求递推数列有关通项问题，考查转化与化归思想、构造思想，由特殊到一般的思想方法通过构造，转化成等
6、差、等比数列进行求解，或者利用裂项相消方法求解解析：由Snan2n1，n1,2,3，得：a1S1a14，所以a12.再由有Sn1an12n，n2,3，得：anSnSn1(anan1)(2n12n)，n2,3，整理得：an4an12n，n2,3，方法一：构造新数列构造新的等比数列：an2n4(an12n1)，n2,3,4，(或：12(1)所以an2n44n1(或：122n1)得：an4n2n，n1,2，方法二：直接递推法当n1时，S1a122，a12an4an12n4(4an22n1)2n42an22n12n4n1a122n222n32n12n22n122n222n32n12n4n2n.方法三：
7、错位相消法推出：()n，()n1，()2所以：()n()n1()2()n()n1()21所以an4n2n.方法四：特征根方程法2即an16an8an10特征方程为：x26x80特征根为：x14，x22通解：anC14nC22n，由：a12，a212，代入解得：C11，C21.总结评述：递推数列问题一直作为高考考试的压轴题出现，基本类型有：an1panq(p0或1，q0)和an1panf(n)(p0或1)两种形式，通常是解决如何求通项an和前n项和Sn等问题解题方向是设法转化成等差数列、等比数列或可进行求通项或前n项和的数列来解决常见方法有：构造法，直接递推法，错位相消法，特征根方程法和不动点法有些问题还可以用归纳、猜想、证明即数学归纳法加以解决，难度一般较大，是考查抽象思维能力的好素材