1、4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点(重点)2会根据已知条件求圆的标准方程(重点、难点)3能准确判断点与圆的位置关系(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学学科素养1圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆思考：平面内确定圆的
2、要素是什么？提示圆心坐标和半径2. 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r.d与r的大小点与圆的位置dr点P在圆外1圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A.(2，3)，1B(2，3)，3C.(2，3)， D(2，3)，D由圆的标准方程可得圆心为(2，3)，半径为.2以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A.x2y22B.x2y24C.(x2)2(y2)28D.x2y2B以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2y24.3点P(m，5)与圆x2y224的位置关系是()A.在圆外 B在圆内C.在圆上 D不确定Am22524，点P在圆外4点(1，1)在圆(x2)2y2m上，
3、则圆的方程是_(x2)2y210因为点(1，1)在圆(x2)2y2m上，故(12)212m，m10.即圆的方程为(x2)2y210.求圆的标准方程【例1】求过点A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线xy20上的圆的方程思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二：设点C为圆心，点C在直线xy2
4、0上，可设点C的坐标为(a，2a).又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1，1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1，1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借
5、助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷1求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，4)；(3)以点A(3，2)，B(5，4)为直径两端点的圆的方程解(1)r2(24)2(20)28，圆的标准方程为(x4)2y28.(2)设圆心为C(0，b)，则(30)2(4b)252，b0或b8，圆心为(0，0)或(0，8)，又r5，圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.(3)|AB|10.半径r5.又圆心坐标为，即(1，1).所以圆的标准方程为(x1)2(y1)
6、225.点与圆的位置关系【例2】已知圆心为点C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(1，0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系解因为圆心是C(3，4)，且经过原点，所以圆的半径r5，所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225.因为|P1C|25，所以P3(3，4)在圆外1判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围2已知点A(1，2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a
7、的取值范围解由题意，点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a.a0，a的取值范围为(0，).与圆有关的最值问题探究问题1怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？提示可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值2若点P(x, y)是圆C：(x2)2(y2)21上的任一点，如何求点P到直线xy0的距离的最大值和最小值？提示可先求出圆心(2，2)到直线xy0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值【例3】已知x和y满足(x1)2y2，试求x2y2的最值思路探究：首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几
8、何意义，求出其最值解由题意知x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点O(0，0)到圆心C(1，0)的距离d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1.因此x2y2的最大值和最小值分别为和.1本例条件不变，试求的取值范围解设k，变形为k，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k，可得ykx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离dr，即，解得k.即的取值范围是.2本例条件不变，试求xy的最值解令yxb并将其变形为yxb，问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值当直
9、线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有，解得b1，即最大值为1，最小值为1.3本例条件不变，求圆上点P与A(3，0)、B(0，3)所围成的三角形的面积的最大值和最小值解|AB|3.圆心(1，0)到直线AB：yx3的距离为d，圆(x1)2y2的半径为，点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为，.SPAB的最大值和最小值分别为：(SABP)max3，(SPAB)min3().与圆有关的最值问题的常见类型及解法：(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线y x截距的最值问题(3)形如(xa
10、)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题1确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率2判断点(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的方法：假设点(x0，y0)与圆心的距离为d，则dr(x0a)2(y0b)2r2在圆外；dr(x0a)2(y0b)2r2在圆上；dr(x0a)2(y0b)2r2在圆内3与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养1圆心为(0，4)
11、，且过点(3，0)的圆的方程为()A.x2(y4)225Bx2(y4)225C.(x4)2y225 D(x4)2y225A由题意，圆的半径r5，则圆的方程为x2(y4)225.2若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A.1 B1C.3 D3B圆x2y22x4y0的圆心为(1，2).由条件知，(1，2)适合于方程3xya0，所以32a0解得a1，故选B.3经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是_(x2)2y24由题意知，圆心是(2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x2)2y24.4点(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_0，1)由于点在圆的内部，所以(511)2()226，即26a26，又a0，解得0a1.5ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求ABC的外接圆方程解易知ABC是直角三角形，B90，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r，所以外接圆的方程为(x2)2(y2)25.