1、题目 第三章数列数列的综合应用高考要求 (1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳 1通项与前n项和的关系：2迭加累加法：， ， ， 3迭乘累乘法：，4裂项相消法：5错位相减法：, 是公差d0等差数列，是公比q1等比数列所以有6通项分解法：7等差与等比的互变关系： 8等比、等差数列和的形式：9无穷递缩等比数列的所有项和：题型讲解 例1 等差数列an
2、的首项a10,前n项和为Sn,若Sm=Sk(mk),问n为何值时，Sn最大？解：根据，首项a10,若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn最大；若m+k为奇数，当n=(m+k1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn最大例2 已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)对于一切大于1的自然数n都成立，求a的取值范围解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式f(n)1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)f(n+1) f(n)1/(n+2)+1/(n+3)+1/(2n+2) 1/(n+1)+1/(n
3、+2)+1/(2n)1/(2n+2) +1/(2n+1) 1/(n+1)1/(2n+1) 1/(2n+2) 0f(n+1) f(n)函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12, 7/12,解得：1aq且q1, p1, 设Cn=an+bn,Sn为数列Cn的前n项和，求解：,以下分两种情况讨论：(1)当p1时, pq0, 0q/p1=0,=0,两边同除以pn,得：=p;(2)当pqo, 0qp0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r的取值范围证明：根据得an=a+(n1) 2b,an是等差数列，首项为a,公比为2b由x=an=a+(n1)2b, y=Sn/n1=a+(n1)b两式中消
4、去n,得：x2y+a2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r1)2+r2r2; (r2)2+(r1/2)2r2; (r3)2+(r1)2r2 r的取值范围是(1,5/2)(0,1)(4+,+)例7 已知数列an满足条件a1=1,a2=r(r0),且anan+1是公比为q (q0)的等比数列，设bn=a2n1+a2n (n=1,2,3,) 求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3 (nN) 成立的q 的取值范围；求bn和,其中Sn为数列bn的前n项的和；设r=21921,q=05,求数列的最大项和最
5、小项的值解：rqn1+rqnrqn+1, q0 0q(1+)/2;=q0 bn是首项为1+r,公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn1,当q=1时，Sn=n(1+r), =0;当0q1时，=0;=f(n)=1+1/(n202),当n21时，f(n)递减， f(n)f(21)1f(n)4; 当n=21时，有最大值225;当n=20时，有最小值4例8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后
6、关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,xn,由已知x2x1=x3x2=x4x3=xnxn1, xn为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n), x1+x2+xn=24n;即n(x1+xn)/2=24n x1+xn=48, 又xn=5x1 , xn=40即最后一个水龙头放水时间是40分钟例9 某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x（取lg2=03)解：用归纳法求解，第一年存量：125ax;第二年存量：125(125ax)x=a1252x(1+125);第三
7、年存量：125a1252x(1+125)x=a1253x(1+125+1252);第20年末存量：a12520x(1+125+1252+12519)=a125204x(112520)依题意：a125204x(112520)=4a,又设y=12520lgy=20lg125=20(13lg2)=2 y=100,即12520=100x=8a/33答：每年的最大砍伐量为8a/33例10 某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)解法一：以粮食单产比现在提高22%为
8、目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量为b吨，平均每年减少耕地x公顷，由题意可知：解得：,再用二项式定理进行计算可得：x4解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨/公顷， 可得：x4 (公顷)例10 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆由题意得 学生练习 1在等差数列an中，a1+a2+a3+a4+a5
9、=30,a5+a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15= 答案：1302数列an中，a15=10,a45=90,若an为等差数列，则a60= ;若an为等比数列，则a60= ;答案：130，270（两种解法）3a1,a2,a2n+1成等差数列，且下标为奇数的项的和为60，下标为偶数的项的和为45，则该数列的项数是 答案：7（直接列方程）4an是等比数列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5为 ；答案：55设等差数列an的前n项之和为30，前2n项之和为100，则它的前3n项之和为 答案：2106an是等差数列，且a1a4a8a12+
10、a15=2,求a3+a13的值；答案：47一个等差数列共n项，其和为200，其中前10项之和为25，后10项之和为75，则n= 答案：408等比数列an中，已知a1a2a3=1,a4a5a6=2,则a7a8a9a10a11a12= 答案：32;9等比数列an中，Sn=2n1,则a12+a22+an2等于 答案：(4n1)/310数列an和bn均为等差数列，它们的前n项之和分别为Sn ,若Sn /=(7n+2)/(n+4),则a5/b5= 答案：5;11等差数列an的公差为1/2,且前100项之和为S100=145,求a1+a3+a5+a99的值答案：S100=a1+a3+a5+a99+a2+a
11、4+a6+a100=2(a1+a3+a5+a99)+50d=145 a1+a3+a5+a99=6012项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项答案：S奇+S偶=Sn; S奇S偶=a中； Sn=na中 a中=1113等差数列an中，前m项之和(m为奇数)为77，其中偶数项之和为33，a1am=18,求此数列的通项公式答案： （奇数项之和） ，两式相除得到：(m+1)/(m1)=4/3 m=7，再联立方程组解得：a1=20,am=2d=3an=3n+2314 在等差数列an中，如果Sm/Sn=m2/n2(m,n为已知数),求am/an的值答案： (2m1)/(2n
12、1) 15等差数列an中，公差d0,其中构成等比数列，若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+kn答案：由题意知a52=a1a17,列方程得到a1=2d,公比q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3, =a1 3n1, (1)； 又=a1+（kn1）d= (2);由(1)及(2)得kn=23n11, k1+k2+kn=2(1+3+32+3n1)n=3nn116在1/n和n+1之间插入n个正数，使得这n+2个数成等比数列，求插入的n个数之积答案： 17等差数列an中，a3=12,S130,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1,S2,S12中哪一个最大？并说明理由答案：(1)由S
13、12=12a1+1211d/20, S13=13a1+1312d/20, 3+d0 24/7d0,S13=13a70,a70,a70,故当n6时，Sn递增，n6时，Sn递减， S6最大18(1)数列an是首项为1000，公比为1/10的等比数列，数列bn满足bk=(kN),求数列bn的前多少项的和最大？(2)数列an中，S7=S12 , 则数列的前 项之和最大答案：（1）bk=3(k1)/2, bk为等差数列；bn0, bn+10,6n7所以第6项和第7项最大；（2）8或9数形结合19已知nN,函数y=(x2x+n)/(x2+1)的最小值与最大值的和为an,又b1+2b2+nbn=(n+10)
14、求an和bn的表达式；令Cn=anbn,试问数列Cn有没有最大项？如果有，求出最大项，如果没有，说明理由答案：先用判别式法求出an=n+1,又b1+2b2+nbn= (n+10) (1) b1+2b2+(n1)bn1=(n+9) (2)相减得：bn=, 从而Cn=,考虑数列的单调性，由CnCn1, CnCn+1 8n9故最大项为C8=C9=18已知递增的等比数列an的前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求证：答案：a2=8, 设公比为q,则(8/q1)+(8q9)=2(83)q=2或q=1/2(舍去)Sn=,用错位相减法得Sn=1119已知等差数列an的前n项和为Sn
15、,bn=1/Sn,且a3b3=1/2,S3+S5=21求数列bn的通项公式;求证：b1+b2+bn2答案：bn=; bn=2()裂项相消，结果为22/(n+1)220已知函数f(x)=(x1)2,数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列(qR,q1),若a1=f(d1),a3=f(d+1),b1=f(q1),b3=f(q+1)求数列an,bn的通项公式；设数列cn对任意自然数n均有成立，求c1+c3+c5+c2n1的值试比较(3bn1)/(3bn+1)与an+1/an+2的大小，并证明你的结论答案：an=2(n1); bn=3n1;cn/bn =an+1an=2cn=2bn=
16、23n1 c1+c3+c5+c2n1=(9n1)/4;(3bn1)/(3bn+1)=(3n1)/(3n+1), an+1/an+2=n/(n+1)猜想nN时，有(3n1)/(3n+1) n/(n+1), 用数学归纳法证明（略）21一计算机装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数列n中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列an,结果表明： 从A口输入n=1时，从B口得到a1=1/3; 当n2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一个结果an1先乘以自然数列n中的第n1个奇数，再除以自然数列n中的第n+1个奇数,试问：(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？(2)从A口输入2000时，从B口得到什么数？答案：(1)a1=,a2=,a3=;(2)猜想am=,用数学归纳法证明（略）， a2000=1/15999999课前后备注