1、第3讲 圆的方程一、填空题1圆(x2)2y25关于直线yx对称的圆的方程为_解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，2)，所以所求圆的方程为x2(y2)25.答案x2(y2)252已知直线3x4y240与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是_解析 依题意得，直线3x4y240与坐标轴的两个交点为A(8,0)，B(0,6)，由题知线段AB为圆的直径，且|AB|10，因此圆的半径是5.答案 53若圆x2y2ax2y10与圆x2y21关于直线yx1对称，过点C(a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为_解析 由圆x2y2ax2y10与圆x2y21关于直线yx1对称可知两圆半径相等
2、且两圆圆心连线的中点在直线yx1上，故可得a2，即点C(2,2)，所以过点C(2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x2)2(y2)2x2，整理即得y24x4y80.答案 y24x4y804已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线xy0相切，则圆O的方程是_解析 设圆心为(a,0)(a0)上，且与直线3x4y30相切的面积最小的圆的方程为_解析 设圆心坐标为(a0)，则圆心到直线3x4y30的距离d(a)(41)3，当且仅当a2时等号成立此时圆心坐标为，圆的半径为3.答案 (x2)229二、解答题11已知圆C：x2y24x6y120，点A(3,5)(1)求过点A的圆的切线方
3、程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求AOC的面积S.解 (1)C：(x2)2(y3)21.当切线的斜率不存在时，有直线x3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件当k存在时，设直线y5k(x3)，即ykx53k，1，解得k.过点A的圆的切线方程为：x3或yx.(2)|AO|，lOA：5x3y0，点C到直线OA的距离d，Sd|AO|.12已知圆M过两点A(1，1)，B(1,1)，且圆心M在直线xy20上(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值解 (1)设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，根
4、据题意得：解得ab1，r2，故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)由题意知，四边形PAMB的面积为SSPAMSPBMAMPABMPB.又AMBM2，PAPB，所以S2PA，而PA，即S2.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点P，使得PM的值最小，所以PMmin3，所以四边形PAMB面积的最小值为Smin222.13已知直线l：x4与x轴相交于点M，P是平面上的动点，满足PMPO(O是坐标原点)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过直线l上一点D(DM)作曲线C的切线，切点为E，与x轴相交点为F，若，求切线DE的方程解(1)依题意，知M(4,0)，设
5、P(x，y)(x0且x4)，由PMPO，得kPMkPO1，即1，整理得，动点P的轨迹C的方程为(x2)2y24(x0且x4)(2)DE、DM都是圆(x2)2y24的切线，DEDM.，DF2DE2DM，DFM.设C(2,0)，在CEF中，CEF，CFE，CE2，CF4，根据题意取F(2,0)切线DE的倾斜角或，切线DE的斜率k或，切线DE的方程为y(x2)14已知圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，且CP的斜率为1.(1)试求圆C的方程；(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1交圆C于E，F两点，l2交圆C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，则C点的坐标为，且PC的斜率为1，所以1.因为圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，所以联立，解得所以圆C的方程为x2y2x5y60即22.(2)圆心C的坐标为，圆心到l1，l2的距离设为d1，d2，则ddOC2，又2d，2d，两式相加，得EF2GH2742EFGH.所以SEFGH，即(S四边形EGFH)max.5