1、第九章 平面解析几何第一讲直线方程与两直线的位置关系练好题考点自测1.2020全国卷,5分若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A. B.C.D.2.2021安徽示范高中联考已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为()A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=03.2016四川,5分设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB
2、的面积的取值范围是()A.(0,1) B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)4.2020四川五校联考过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y-5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,APB=()A.30B.45C.60D.905.多选题下列说法错误的是()A.直线的倾斜角越大,其斜率越大B.若直线的斜率为tan ,则其倾斜角为C.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示D.直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离6.2021上海模拟过点(2
3、,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.7.2021山西摸底测试已知a0,b0,若直线(a-1)x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是.拓展变式1.(1)多选题过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程可能为()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=0(2)过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程为.2.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,(1)求过点(-1,3),且与l平行的直线l的方程;(2)求过点(-1,3),且与l垂直的直线l的方程;(3)
4、若直线l与l垂直,且l与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程.3.(1)2020黑龙江哈尔滨模拟若直线y=-x+1和x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC.若在第一象限内有一点P(m,),使得ABP和ABC的面积相等,则m的值为()A.B.2C.D.3(2)2019江苏,5分在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答 案第一讲直线方程与两直线的位置关系1.B因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a0),所以(2-a)2+(1-
5、a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为=或=,故选B.2.B易知A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-= ,所以直线l2的方程为y-1=(x+1),即3x-2y+5=0.故选B.3.A不妨设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2),P(xP,yP),由于l1l2,所以(-)=-1,则x1=.又切线l1:y-ln x1=(x-x1),l2:y+ln x2=-(x-x2),于是A(0,ln x1-1),B(0,1+
6、ln x1),所以|AB|=2.由解得xP=,所以SPAB=2xP=.因为x11,所以x1+2,所以SPAB的取值范围是(0,1),故选A.图D 9-1-14.C解法一如图D 9-1-1,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y-5=x+1,即y=x+6,与y=-x联立,得P(-3,3).所以|PC|=2.设APC=,则APB=2,在APC中,sin =,故=30,所以APB=2=60.故选C.解法二如图D 9-1
7、-1,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以|PC|=2,易知圆的半径r=,sinAPC=,则APC=30,所以APB=60.故选C.5.ABD对于选项A,当直线的倾斜角1=135,2=45时,12,但其对应斜率k10,b0,所以ab=(a2b)()2=,当且仅当a=,b=时取等号.故ab的最大值是.1.AC当直线过原点时,可得斜率为=2,故直线方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设直线方程为+=1,将点(1,2)代入,可得-=1,解得a=-1,故直线方程为
8、x-y+1=0,故所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.故选AC.(2)21x-28y-13=0或x=1因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+(7x-21y-1)=0,即(2+7)x+(7-21)y+(-4-)=0,由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得=,整理可得|43+3|=|113-55|,解得=或=,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.2.(1)解法一直线l的方程可化为y=-x+3,可知l的斜率为-,因为l与l平行,所以直线l的斜率为-.又l过点(-1,3),所以由点斜式得直线l的方程为y-3
9、=-(x+1),即3x+4y-9=0.解法二由l与l平行,可设l的方程为3x+4y+m=0(m-12),将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)解法一直线l的方程可化为y=-x+3,可知l的斜率为-,因为l与l垂直,所以直线l的斜率为.又l过点(-1,3),所以由点斜式得直线方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.解法二由l与l垂直,可设l的方程为4x-3y+n=0,将(-1,3)代入,得n=13,于是所求直线方程为4x-3y+13=0.(3)由l与l垂直,可设直线l的方程为4x-3y+p=0,则l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为.由题意可知,
10、l与两坐标轴围成的三角形的面积S=|-|=4,求得p=4.所以直线l的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.3.(1)C 过点C作直线l,使lAB,则点P在直线l上.由题意易知,A(,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=.直线AB的方程可化为x+3y-3=0,由ABP和ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即=,解得m=-或m=.因为点P在第一象限,所以m=.故选C.(2)4 解法一 设P(x,x+),x0,则点P到直线x+y=0的距离d=4,当且仅当2x=,即x=时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二 由y=x+(x0)得y=1-,令1-=-1,得x=,则当点P的坐标为(,3)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为=4.