1、第八节圆锥曲线的综合问题热点命题分析学科核心素养直线与圆锥曲线的综合应用问题(特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题)一直是高考热点问题常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大.本节通过圆锥曲线的综合应用提升数学运算、逻辑推理等核心素养.第一课时直线与圆锥曲线的位置关系授课提示：对应学生用书第174页知识点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程，即消去y，得ax2bxc0.(1
2、)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 温馨提醒 1直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点2直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切
3、C相离D不确定答案：A2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条D4条答案：C3(易错题)直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1B2C1或2D0答案：A知识点二弦长公式设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2| .1(2021张掖市高三诊断)过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|()A.BC5D答案：D2已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是_答案：x2y30授课提示：
4、对应学生用书第175页题型一直线与圆锥曲线的位置关系的判断自主探究1若直线ykx2与抛物线y2x有一个公共点，则实数k的值为()A.B0C.或0D8或0答案：C2已知直线ykxt与圆x2(y1)21相切且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是()A(，3)(0，)B(，2)(0，)C(3,0)D(2,0)答案：A3若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.B.)C.)D.)解析：由得(1k2)x24kx100.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得k1，即k的取值范围是.答案：D直线与圆锥曲线位置关
5、系的判定方法代数法即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标几何法即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数题型二直线与圆锥曲线位置关系的基本应用多维探究直线与圆锥曲线的位置关系的基本应用多涉及弦长与面积问题、中点弦问题等.考法(一)弦长与方程问题例1(2021贵阳摸底)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线y21的渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：ykxm(k0)与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原
6、点O到直线l的距离为，求直线l的方程解析(1)椭圆C：1(ab0)的离心率为，.又双曲线y21的其中一条渐近线方程为xy0，椭圆C的焦点F1(c,0)，解得c1，a，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)知F2(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l：ykxm(k0)的距离为，得，即m2(1k2)将ykxm代入y21，得(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)8(2k2m21)0，x1x2，x1x2.又以线段AB为直径的圆经过点F2，0，即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)(kx1m)(kx2m)0，即(1k
7、2)x1x2(km1)(x1x2)m210，(1k2)(km1)m210，化简得3m24km10.由，得11m410m210，m21.又k0，满足8(2k2m21)0.直线l的方程为yx1.求解弦长的常用方法(1)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解(2)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1x2)2，(y1y2)2，代入弦长公式(3)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长考法(二)中点弦问题例2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线ykx(k0)经过弦AB
8、的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1，点P的坐标为.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：k1k为定值解析(1)由题意知解得故椭圆C的方程为1.(2)证明：设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于A，B为椭圆C上的点，所以1，1，两式相减得，所以k1.又k，故k1k，为定值1.“点差法”的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2“点差法”的常见结论设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：(1)椭圆1(ab0)中的中点弦问题：kABkOP；(2)双曲线1(a0，b0)中的中点弦问题：kABkOP；(3)抛物线y22px(p
9、0)中的中点弦问题：kAB(y0为中点P的纵坐标)题组突破1(2021衡阳模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，O为坐标原点，则AOB的面积为()A2BC2D4答案：A2(2021石家庄摸底)已知点E在y轴上，点F是抛物线y22px(p0)的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|12，则p_.答案：83已知双曲线C：1(a0，b0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点N(12,15)，则双曲线C的离心率为_答案：直线与圆锥曲线位置关系中的核心素养数学运算在研究位置关系中应用数学
10、运算是得到数学结果的重要手段在该部分主要表现为理解运算对象直线和圆锥曲线方程构成的方程组的运算，通过探究运算思路、选择运算过程，得到与位置关系相关的结论例已知椭圆r：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆r上设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0.O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则()AB3CD解析因为椭圆r：1(ab0)的右焦点为F(1，0)，且离心率为，且a2b2c2，所以可求得椭圆的标准方程为1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，
11、y3)，D(s1，t1)，E(s2，t2)，M(s3，t3)，因为A，B在椭圆上，所以1，1，两式相减得k1，即，同理可得，所以，因为直线OD，OE，OM的斜率之和为1，所以1.答案A该题考查了直线和圆锥曲线中的中点弦问题以及直线斜率的求解，还考查了数学运算核心素养根据题意中点的提示，可选用点差法利用中点坐标表示弦所在直线的斜率，从而起到简化计算流程的效果由此可见，数学运算也要根据具体的要求和情景选择适宜的运算方法，避免烦琐的计算过程，提高自己的数学素养对点训练(多选题)(2021福建福州期末)已知椭圆C：1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线ykx(k0)与C交于A，B两点，AEx轴，垂足
12、为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是()A四边形AF1BF2为平行四边形BF1PF290C直线BE的斜率为kDPAB90解析：根据椭圆的对称性可知，|OF1|OF2|，|OA|OB|，故四边形AF1BF2为平行四边形，故A正确根据椭圆的性质，当P为上、下顶点时，|OP|bc，F1PF290.由题意可知，点P不可能在上、下顶点处，故F1PF290，故B正确如图，不妨设点B在第一象限，作BDx轴，垂足为D，则直线BE的斜率为k，故C正确设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x2，y2)，则kAPkBP.又由选项C可知直线BP的斜率为k，故kAP，所以kAPkABk1，故PAB90，故D错误答案：ABC
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