1、1.4.3正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象(重点)2.掌握正切函数的性质(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易混点)1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域 值域R周期奇偶性奇函数对称中心，kZ单调性在开区间，kZ内都是增函数思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？提示不是，在中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上1函数f(x)tan的单调增区间为()A.，kZB.，
2、kZC.，kZD.，kZC令kxk(kZ)得kxk(kZ)，故单调增区间为(kZ)2函数ytan的定义域为 因为2xk，kZ，所以x，kZ，所以函数ytan的定义域为.3函数ytan 3x的最小正周期是 函数ytan 3x的最小正周期是.4函数ytan的对称中心是 (kZ)令x(kZ)得x(kZ)，对称中心为(kZ)有关正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y的值域是()A(1,1)B(，1)(1，)C(，1) D(1，)(2)求下列函数的定义域：y；ylg(tan x)思路点拨：(1)(2)中注意分母不为零且ytan x本身的定义域；中注意对数大于零从而得到定义域(1)B当x0时，1t
3、an x0，1；当0x时，0tan x1，1.即当x时，函数y的值域是(，1)(1，)(2)解要使函数y有意义，需使所以函数的定义域为.因为tan x0，所以tan x.又因为tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图象，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.1求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk，kZ.(2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kZ，解得x.2解形如tan xa的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件1求函数y
4、lg(1tan x)的定义域解要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.当x上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】(1)函数f(x)tan的周期为 (2)已知函数ytan，则该函数图象的对称中心坐标为 (3)判断下列函数的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycostan x.思路点拨：(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T，也可以用定义法求周期(2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x，kZ求出(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f(x)与f(x)的关系(1
5、)(2)(kZ)(1)法一：(定义法)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.法二：(公式法)f(x)tan的周期T.(2)由x(kZ)得x(kZ)，所以图象的对称中心坐标为，kZ.(3)解定义域为，关于原点对称，又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函数定义域为，关于原点对称，ycostan xsin xtan x，又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它是奇函数1函数f(x)Atan(x)周期的求解方法(1)定义法(2)公式法：对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图象法)：
6、观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系提醒：ytan x，xk(kZ)的对称中心坐标为，kZ.2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)tantan.解(1)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2)函数定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用探究问题1正切函数ytan x在其定义域内是否为
7、增函数？提示：不是正切函数的图象被直线xk(kZ)隔开，所以它的单调区间只在(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数假设x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.2如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较【例3】(1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：tan 与tan；tan与tan.(2)求函数y3tan的单调区间思路点拨：(1)(2)解(1)因为tantan，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，即tantan.因为tantan，tantan，又0，yt
8、an x在内单调递增，所以tantan，所以tantan，即tantan.(2)y3tan3tan，由k2xk，kZ得，x，kZ，所以y3tan的减区间为，kZ.1将本例(2)中的函数改为“y3tan”，结果又如何？解由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，函数y3tan的单调递增区间是(kZ)2将本例(2)中函数改为“ylg tan”，结果又如何？解因为函数ylg x在(0，)上为增函数，所以函数ylg tan x的单调递增区间就是函数ytan x(tan x0)的单调递增区间，令k2xk(kZ)，得x(kZ)，故ylg tan的增区间为，kZ.1求函数yAtan(x)(A0，0，且A，都是
9、常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A0，0)只有减区间1正切函数的图象正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增作正
10、切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x，x，然后描出三个点(0,0)，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可2正切函数的性质(1)正切函数ytan x的定义域是，值域是R.(2)正切函数ytan x的最小正周期是，函数yAtan(x)(A0)的周期为T.(3)正切函数在(kZ)上递增，不能写成闭区间正切函数无单调减区间1下列说法正确的是()A正切函数的定义域和值域都是RB正切函数在其定义域内是单调增函数C函数y|tan x|与ytan x的周期都是D函数ytan|x|的最小正周期是Cytan x的定义域为，所以A错；由正切函数图象可知B错；画出ytan x，y|tan x|和ytan|x|的图象可知C正确，D错误，因为ytan|x|不是周期函数2在下列函数中同时满足：在上递增；以2为周期；是奇函数的是()Aytan xBycos xCytan Dytan xCA，D的周期为，B中函数在上递减，故选C.3函数y|tan x|在上的单调减区间为 和如图，观察图象可知，y|tan x|在上的单调减区间为和.4求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心解由k，kZ，得x2k，kZ，函数的定义域为.T2，函数的最小正周期为2.由kk，kZ，得2kx2k，kZ，函数的单调递增区间为， kZ.由，kZ，得xk，kZ，函数图象的对称中心是，kZ.
